Problemi teorici suglii ntegrali
posto anche quà, forse qualche luminare dell'ambiente universitario ha voglia di rispondere
perdonate la mia ignoranza...ma ho il seguente dubbi: riferendomi agli integrali che si trattano in quinta liceo scientifico le chiedo:
1. nell'integrale indefinito il dx è un fattore che moltiplica la funzione integranda f(x) o è un simbolo? sempre con riferimento all'integrale indefinito, nell'applicazione delle formule di integrazione per parti e per sostituzione lo si valuta come fattore: è solo un passaggio formale o il dx ha sia il significato di fattore che di simbolo? sempre per l'integrale indefinito, se dx ha il significato di fattore come è possibile che una funzione abbia come derivata prima il prodotto di una funzione per un differenziale (atteso che l'integrale indefinito è la primitiva generale della funzione integranda f(x)?
2. nell'integrale definito il dx è un fattore o un simbolo? se è un fattore qual'è il suo significato? se è un simbolo qual'è il suo significato? se è un simbolo, quandoo lo si considera fattore per applicare le formule, lo si fa per un motivo formale?
3. negli integrali definiti e indefiniti si integra la funzione o si integra la funzione moltiplicata per il dx (ammesso che dx sia un fattore)?
già controllate le altre pagine....sepotete e volete rispondete solo alle mie domande....grazie e scusate il disturbo
perdonate la mia ignoranza...ma ho il seguente dubbi: riferendomi agli integrali che si trattano in quinta liceo scientifico le chiedo:
1. nell'integrale indefinito il dx è un fattore che moltiplica la funzione integranda f(x) o è un simbolo? sempre con riferimento all'integrale indefinito, nell'applicazione delle formule di integrazione per parti e per sostituzione lo si valuta come fattore: è solo un passaggio formale o il dx ha sia il significato di fattore che di simbolo? sempre per l'integrale indefinito, se dx ha il significato di fattore come è possibile che una funzione abbia come derivata prima il prodotto di una funzione per un differenziale (atteso che l'integrale indefinito è la primitiva generale della funzione integranda f(x)?
2. nell'integrale definito il dx è un fattore o un simbolo? se è un fattore qual'è il suo significato? se è un simbolo qual'è il suo significato? se è un simbolo, quandoo lo si considera fattore per applicare le formule, lo si fa per un motivo formale?
3. negli integrali definiti e indefiniti si integra la funzione o si integra la funzione moltiplicata per il dx (ammesso che dx sia un fattore)?
già controllate le altre pagine....sepotete e volete rispondete solo alle mie domande....grazie e scusate il disturbo
Risposte
"WiZaRd":
[size=150]luminario[/size]
Lo so, ti sto prendendo in giro, ma mi hai fatto troppo ridere uah uah
"WiZaRd":
già controllate le altre pagine....
Anche questa?
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=18216
perdonami ma la stanchezza mi prende...ovviamente era luminare...perdonate questo erroracciooooooooooooooooooo
comunque già la avevo vista
comunque già la avevo vista
E' che in quel thread mi sembra che ci sia gi ciò che chiedi, comunque lascio la parola ad altri, che saranno certamente in grado di illuminarti, ehm risponderti...
va bene...attendo con impazienza e curiosità le risposte dei LUMINARI
Il $dx$ ha il significato di misura rispetto alla quale si integra la funzione $f(x)$ (si integra $f$ rispetto alla misura $dx$). Per questo motivo cambiando le variabili, ovvero il modo di misurare le lunghezze sulla retta reale, si deve modificare il $dx$. Il $dx$ quindi non è un numero o un fattore che moltiplica la $f$, ma ha una natura un po' particolare, ma un oggetto che "pesa" la lunghezza degli intervalli.
Ad esempio passando da $x$ a $y=2x$ come variabile di integrazione si stanno considerando delle unità lunghe il doppio di quelle originarie e allora il $dx$ si trasforma per tenere conto della cosa e diventa $dy=1/2 dx$.
Nel caso di trasformazioni più complicate di quella dell'esempio di prima il discorso non cambia e la teoria ci dice come si modifica la misura o, per dirla in linguaggio settecentesco "l'elementino di lunghezza". In particolare è chiaro che quello che conta è la dilatazione relativa delle lunghezze, quindi $dy/dx$ e non tanto la variazione assoluta: per questo i $dx$ si comportano effettivamente come "differenziali" rispetto al cambio delle variabili.
Quindi per ordine mentale è bene considerare il $dx$ come qualcosa d'altro rispetto alla funzione, come la misura o, comunque, come un simbolo astratto. Certamente non è un numero e, nemmeno, una funzione (o meglio non una funzione come $f$ da $RR$ in $RR$).
Non so se sono riuscito a spiegarmi...
Tutto questo discorso si può rendere molto più rigoroso usando argomenti di teoria della misura, tuttavia non credo abbia molto senso stare a puntigliare qui: Riemann non aveva certo in mente la teoria della misura quando tiro' fuori la definizione di integrale (è venuta dopo).
Ad esempio passando da $x$ a $y=2x$ come variabile di integrazione si stanno considerando delle unità lunghe il doppio di quelle originarie e allora il $dx$ si trasforma per tenere conto della cosa e diventa $dy=1/2 dx$.
Nel caso di trasformazioni più complicate di quella dell'esempio di prima il discorso non cambia e la teoria ci dice come si modifica la misura o, per dirla in linguaggio settecentesco "l'elementino di lunghezza". In particolare è chiaro che quello che conta è la dilatazione relativa delle lunghezze, quindi $dy/dx$ e non tanto la variazione assoluta: per questo i $dx$ si comportano effettivamente come "differenziali" rispetto al cambio delle variabili.
Quindi per ordine mentale è bene considerare il $dx$ come qualcosa d'altro rispetto alla funzione, come la misura o, comunque, come un simbolo astratto. Certamente non è un numero e, nemmeno, una funzione (o meglio non una funzione come $f$ da $RR$ in $RR$).
Non so se sono riuscito a spiegarmi...
Tutto questo discorso si può rendere molto più rigoroso usando argomenti di teoria della misura, tuttavia non credo abbia molto senso stare a puntigliare qui: Riemann non aveva certo in mente la teoria della misura quando tiro' fuori la definizione di integrale (è venuta dopo).
bene..finalmente.....era questo il tipo di risposta che volevo....solo un sì è fattore o un no non è fattore....io lo avevo pensato che non fosse un fattore e che lo si trattava così per comodità pratica ma pensavo anche che il proff avesse sempre e comunque ragione, quindi.....va bè....grazie per il chiarimento
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