Problemi teorici equazioni differenziali
Salve a tutti.
Sto ripetendo un po' di teoria sulle equazioni differenziali e ho due esercizi teorici che non riesco proprio ad impostare. Spero che qualcuno sappia aiutarmi.
1. If $t \rightarrow x(t), t \geq 0$, solves $\dot{x}(t)=f(x(t))$ and $x(0)= x(T)$ for some $T>0$, then $x(t)=x(t+T), \forall t>0$; assume $f \in C^{\infty}$. Would this also be true if $f \in C^{1}$?
2. The property of the preceding problem is not valid when differential equation right-hand side is explicitly time dependant, the non autonomous case. Find an example.
Nel testo da cui sto studiando era solo stato fornito un teorema di unicità locale della soluzione di un'equazione differenziale del tipo: $\dot{x}(t)=f(x(t),t), t \in I, f \in C^{\infty}$ .
Grazie anticipatamente
Sto ripetendo un po' di teoria sulle equazioni differenziali e ho due esercizi teorici che non riesco proprio ad impostare. Spero che qualcuno sappia aiutarmi.
1. If $t \rightarrow x(t), t \geq 0$, solves $\dot{x}(t)=f(x(t))$ and $x(0)= x(T)$ for some $T>0$, then $x(t)=x(t+T), \forall t>0$; assume $f \in C^{\infty}$. Would this also be true if $f \in C^{1}$?
2. The property of the preceding problem is not valid when differential equation right-hand side is explicitly time dependant, the non autonomous case. Find an example.
Nel testo da cui sto studiando era solo stato fornito un teorema di unicità locale della soluzione di un'equazione differenziale del tipo: $\dot{x}(t)=f(x(t),t), t \in I, f \in C^{\infty}$ .
Grazie anticipatamente
Risposte
Si tratta di un risultato classico nell'ambito dei problemi autonomi. La dimostrazione la puoi ricostruire da solo, non è difficile (solo leggermente articolata).
Mi pare che valga nel caso generale, cioè $f \in C^1$ (ma forse si possono ammorbidire le ipotesi fino a quelle base per esistenza e unicità locali, cioè continuità + locale lipschitzianità).
Ad ogni modo, per la dimostrazione si può fare così. Anzitutto, assumiamo che la soluzione non sia stazionaria (non costante), altrimenti la tesi è ovvia.
Per prima cosa si dimostra che c'è esistenza globale, cioè l'intervallo massimale di definizione della soluzione è tutto $RR$. Per fare ciò, è sufficiente usare il solito trucco: definiamo $y(t)=x(t+T)$ e osserviamo che $y(0)=x(0)$; inoltre, anche $y'$ è soluzione del problema autonomo $x'=f(x(t))$ (in quanto traslata di una soluzione) e perciò per unicità concludiamo che $x \equiv y$. Inoltre $I_x=(tau_1, \tau_2)$ e $I_y=(tau_1 - T, \tau_2 + T)$ e quindi la $y$ è un prolungamento di $x$. Iterando si conclude.
Fatta questa premessa, introduciamo l'insieme dei periodi $P:=\{\eta > 0: x(t+\eta)=x(t)\, \forall t \in RR\}$. Chiaramente $P$ è non vuoto per la parte precedente ($T \in P$) ed è inferiormente limitato, quindi esiste $\overline{T}:=\text{inf} P$. Se proviamo che $\overline{T}>0$ abbiamo il nostro periodo (minimo) e quindi la tesi.
Per assurdo, supponi $\overline{T}=0$. Allora per definizione di inf...
Ora, sfruttando questa ipotesi assurda, prendi un arbitrario $c>0$ e mostra che è un punto di accumulazione di $P$ (ogni intorno bucato di $c$ interseca $P$). Da ciò seguirà immediatamente l'asserto: infatti, $P$ è chiuso in $RR$ (e quindi contiene i suoi punti di accumulazione) e da ciò segue che $x$ è periodica di periodo $c$, per ogni $c$ reale positivo, cioè $x(cdot)$ è costante che è assurdo.
Vedi un po' se riesci a "riempire i buchi"
Mi pare che valga nel caso generale, cioè $f \in C^1$ (ma forse si possono ammorbidire le ipotesi fino a quelle base per esistenza e unicità locali, cioè continuità + locale lipschitzianità).
Ad ogni modo, per la dimostrazione si può fare così. Anzitutto, assumiamo che la soluzione non sia stazionaria (non costante), altrimenti la tesi è ovvia.
Per prima cosa si dimostra che c'è esistenza globale, cioè l'intervallo massimale di definizione della soluzione è tutto $RR$. Per fare ciò, è sufficiente usare il solito trucco: definiamo $y(t)=x(t+T)$ e osserviamo che $y(0)=x(0)$; inoltre, anche $y'$ è soluzione del problema autonomo $x'=f(x(t))$ (in quanto traslata di una soluzione) e perciò per unicità concludiamo che $x \equiv y$. Inoltre $I_x=(tau_1, \tau_2)$ e $I_y=(tau_1 - T, \tau_2 + T)$ e quindi la $y$ è un prolungamento di $x$. Iterando si conclude.
Fatta questa premessa, introduciamo l'insieme dei periodi $P:=\{\eta > 0: x(t+\eta)=x(t)\, \forall t \in RR\}$. Chiaramente $P$ è non vuoto per la parte precedente ($T \in P$) ed è inferiormente limitato, quindi esiste $\overline{T}:=\text{inf} P$. Se proviamo che $\overline{T}>0$ abbiamo il nostro periodo (minimo) e quindi la tesi.
Per assurdo, supponi $\overline{T}=0$. Allora per definizione di inf...
Ora, sfruttando questa ipotesi assurda, prendi un arbitrario $c>0$ e mostra che è un punto di accumulazione di $P$ (ogni intorno bucato di $c$ interseca $P$). Da ciò seguirà immediatamente l'asserto: infatti, $P$ è chiuso in $RR$ (e quindi contiene i suoi punti di accumulazione) e da ciò segue che $x$ è periodica di periodo $c$, per ogni $c$ reale positivo, cioè $x(cdot)$ è costante che è assurdo.
Vedi un po' se riesci a "riempire i buchi"
Per prima cosa, Grazie per la risposta. 
Ok.
Fin qui ci sono ancora. Anche se mi ripeto... questo esercizio era al termine del paragrafo sull'unicità locale quindi non si era parlato ancora di intervallo massimale di definizione della soluzione e, correggimi se sbaglio, al fine del problema non è importante. Ciò che importa è che la soluzione sia unica almeno per un intorno tale da contenere la periodicità della soluzione. Giusto?
Scusa la mia ignoranza... Ma $T$ non appartiene mica all'insieme dei periodi, lo devo andare a dimostrare. $T$ verifica la proprietà dell'insieme $P$ solo per $t=0$ e non $\forall t>0$. Mi sbaglio?
Mmmmm vorrei aver capito... anche se già le base della dimostrazione non mi convince.
A quanto pare ... no
Grazie ancora
"Paolo90":
Si tratta di un risultato classico nell'ambito dei problemi autonomi. La dimostrazione la puoi ricostruire da solo, non è difficile (solo leggermente articolata).
Mi pare che valga nel caso generale, cioè $f \in C^1$ (ma forse si possono ammorbidire le ipotesi fino a quelle base per esistenza e unicità locali, cioè continuità + locale lipschitzianità).
Ad ogni modo, per la dimostrazione si può fare così. Anzitutto, assumiamo che la soluzione non sia stazionaria (non costante), altrimenti la tesi è ovvia.
Ok.
Per prima cosa si dimostra che c'è esistenza globale, cioè l'intervallo massimale di definizione della soluzione è tutto $RR$. Per fare ciò, è sufficiente usare il solito trucco: definiamo $y(t)=x(t+T)$ e osserviamo che $y(0)=x(0)$; inoltre, anche $y'$ è soluzione del problema autonomo $x'=f(x(t))$ (in quanto traslata di una soluzione) e perciò per unicità concludiamo che $x \equiv y$. Inoltre $I_x=(tau_1, \tau_2)$ e $I_y=(tau_1 - T, \tau_2 + T)$ e quindi la $y$ è un prolungamento di $x$. Iterando si conclude.
Fin qui ci sono ancora. Anche se mi ripeto... questo esercizio era al termine del paragrafo sull'unicità locale quindi non si era parlato ancora di intervallo massimale di definizione della soluzione e, correggimi se sbaglio, al fine del problema non è importante. Ciò che importa è che la soluzione sia unica almeno per un intorno tale da contenere la periodicità della soluzione. Giusto?
Fatta questa premessa, introduciamo l'insieme dei periodi $P:=\{\eta > 0: x(t+\eta)=x(t)\, \forall t \in RR\}$. Chiaramente $P$ è non vuoto per la parte precedente ($T \in P$) ed è inferiormente limitato, quindi esiste $\overline{T}:=\text{inf} P$. Se proviamo che $\overline{T}>0$ abbiamo il nostro periodo (minimo) e quindi la tesi.
Scusa la mia ignoranza... Ma $T$ non appartiene mica all'insieme dei periodi, lo devo andare a dimostrare. $T$ verifica la proprietà dell'insieme $P$ solo per $t=0$ e non $\forall t>0$. Mi sbaglio?
Per assurdo, supponi $\overline{T}=0$. Allora per definizione di inf...
Ora, sfruttando questa ipotesi assurda, prendi un arbitrario $c>0$ e mostra che è un punto di accumulazione di $P$ (ogni intorno bucato di $c$ interseca $P$). Da ciò seguirà immediatamente l'asserto: infatti, $P$ è chiuso in $RR$ (e quindi contiene i suoi punti di accumulazione) e da ciò segue che $x$ è periodica di periodo $c$, per ogni $c$ reale positivo, cioè $x(cdot)$ è costante che è assurdo.
Mmmmm vorrei aver capito... anche se già le base della dimostrazione non mi convince.
Vedi un po' se riesci a "riempire i buchi"
A quanto pare ... no
Grazie ancora
Per il punto 1 sono arrivato a questa conclusione:
Chiamando la soluzione come $x_{1}(t), \forall t \geq 0$, vado a dimostrare che anche $x_{1}(t+T)$ è soluzione e con quale dominio.
Determino $x_1$ per integrazione:
\[\dot{x_{1}}(t)=f(x_{1}(t)) \Rightarrow \int_ {0}^{t}\dot{x_{1}}(\tau)d \tau=\int_ {0}^{t}f(x_{1}(\tau))d \tau \Rightarrow \]
Trovo $x_1(\cdot)$
\[x_{1}(t)=x_{1}(0)+\int_ {0}^{t}f(x_{1}(\tau))d \tau\]
\[x_{1}(t+T)=x_{1}(0)+\int_ {0}^{t+T}f(x_{1}(\tau))d \tau \]
Verifico che$ x_{1}(t+T)$ è soluzione:
\[\frac{d(x_{1}(t+T))}{dt}=\frac{d(\int_ {0}^{t+T}f(x_{1}(\tau))d \tau)}{dt}=f(x_{1}(t+T))\]
Dunque $x_{1}(t+T)$ è soluzione $\forall t \geq -T$.
Inoltre per il teorema dell'unicità:
\[x_{1}(t)=x_{1}(t+T), \forall t \geq 0\]
Inoltre visto che l'unica ipotesi sulla funzione $f$ è che sia continua la tesi è verificata anche per $f \in C^{1}$.
Per il punto 2. ci sto lavorando... Vorrei avere conferma che quello che ho scritto è corretto. Che dite, va bene?
Chiamando la soluzione come $x_{1}(t), \forall t \geq 0$, vado a dimostrare che anche $x_{1}(t+T)$ è soluzione e con quale dominio.
Determino $x_1$ per integrazione:
\[\dot{x_{1}}(t)=f(x_{1}(t)) \Rightarrow \int_ {0}^{t}\dot{x_{1}}(\tau)d \tau=\int_ {0}^{t}f(x_{1}(\tau))d \tau \Rightarrow \]
Trovo $x_1(\cdot)$
\[x_{1}(t)=x_{1}(0)+\int_ {0}^{t}f(x_{1}(\tau))d \tau\]
\[x_{1}(t+T)=x_{1}(0)+\int_ {0}^{t+T}f(x_{1}(\tau))d \tau \]
Verifico che$ x_{1}(t+T)$ è soluzione:
\[\frac{d(x_{1}(t+T))}{dt}=\frac{d(\int_ {0}^{t+T}f(x_{1}(\tau))d \tau)}{dt}=f(x_{1}(t+T))\]
Dunque $x_{1}(t+T)$ è soluzione $\forall t \geq -T$.
Inoltre per il teorema dell'unicità:
\[x_{1}(t)=x_{1}(t+T), \forall t \geq 0\]
Inoltre visto che l'unica ipotesi sulla funzione $f$ è che sia continua la tesi è verificata anche per $f \in C^{1}$.
Per il punto 2. ci sto lavorando... Vorrei avere conferma che quello che ho scritto è corretto. Che dite, va bene?
Mi rispondo ancora da solo. Sperando che stia scrivendo cose corrette... Ho proposto un tema noioso... XD
Punto 2
Procedendo esattamente come il punto 1 si giunge alla conclusione che $x_{1}(t+T)$ non è soluzione dell'equazione differenziale dunque non si può dimostrare nulla. Un esempio credo sia una qualunque equazione non autonoma tipo: $\dot{x}(t)=x(t)+4000\sin (t)$.
Punto 2
Procedendo esattamente come il punto 1 si giunge alla conclusione che $x_{1}(t+T)$ non è soluzione dell'equazione differenziale dunque non si può dimostrare nulla. Un esempio credo sia una qualunque equazione non autonoma tipo: $\dot{x}(t)=x(t)+4000\sin (t)$.
L'esempio non va bene. Devi mostrare esplicitamente che esiste una equazione differenziale tale da ammettere una soluzione \(x=x(t)\) che assume almeno due volte lo stesso valore (nel senso che esistono \(t\in \mathbb{R},T>0\) tali che \(x(t+T)=x(t)\)) ma non è periodica. Prova per esempio a costruire una equazione differenziale tale che una sua soluzione sia \(x^2\).
Anche la dimostrazione del punto 1 non mi piace molto, troppo complicata. Meglio considerare la restrizione di \(x\) a \([0, T]\), estenderla per periodicità e verificare che tale estensione è soluzione dell'equazione assegnata. Quindi concludere, mediante teorema di (esistenza e) unicità locale, che questa estensione periodica coincide con \(x\) e, dunque, che \(x\) è periodica.
Anche la dimostrazione del punto 1 non mi piace molto, troppo complicata. Meglio considerare la restrizione di \(x\) a \([0, T]\), estenderla per periodicità e verificare che tale estensione è soluzione dell'equazione assegnata. Quindi concludere, mediante teorema di (esistenza e) unicità locale, che questa estensione periodica coincide con \(x\) e, dunque, che \(x\) è periodica.
Innanzitutto grazie per la risposta. Stavo cominciando ad intestardirmi e perdevo tempo prezioso...
Perdona la mia ottusaggine e ignoranza. Perché il mio esempio non va bene?
Certo è un po' complessa però la soluzione è del tipo $x(t)=e^{t}-2000(\sin(t)+\cos(t))$ che passa almeno per due volte in $0$ e non è periodica.
Quando scrivi $x^2$ per caso intendi $t^2$, altrimenti non so davvero come realizzarla.
Per il punto uno mi potresti spiegare come faccio a estendere una funzione per periodicità se la sua periodicità la devo ancora dimostrare? Mi descriveresti anche i motivi del perché è meglio seguire la tua logica? Vorrei riuscire ad entrare nel tuo modo di ragionare, anche perché so che il mio fa acqua da tutte le parti e spesso vado in difficoltà con le dimostrazioni.
Grazie mille
EDIT: Aggiunta correzione di dissonance.
Stavo cominciando ad intestardirmi e perdevo tempo prezioso...Perdona la mia ottusaggine e ignoranza. Perché il mio esempio non va bene?
Certo è un po' complessa però la soluzione è del tipo $x(t)=e^{t}-2000(\sin(t)+\cos(t))$ che passa almeno per due volte in $0$ e non è periodica.
Quando scrivi $x^2$ per caso intendi $t^2$, altrimenti non so davvero come realizzarla.
Per il punto uno mi potresti spiegare come faccio a estendere una funzione per periodicità se la sua periodicità la devo ancora dimostrare? Mi descriveresti anche i motivi del perché è meglio seguire la tua logica? Vorrei riuscire ad entrare nel tuo modo di ragionare, anche perché so che il mio fa acqua da tutte le parti e spesso vado in difficoltà con le dimostrazioni.
Grazie mille
EDIT: Aggiunta correzione di dissonance.
Attenzione alle \(x\) e alle \(t\). Per esempio è
\[
\displaystyle {x}{\left({t}\right)}={{e}}^{{{t}}}-{2000}{\left({\sin{{\left({t}\right)}}}+{\cos{{\left({t}\right)}}}\right)}
\]
Lo stesso appunto va fatto a me che scrivevo \(x^2\) dove avrei dovuto scrivere \(t^2\), come giustamente affermi tu.
Riguardo il tuo esempio, va bene (è solo un po' troppo complicato). Io obiettavo sul metodo: per fabbricare un controesempio bisogna esibirlo esplicitamente e non limitarsi a dire, come hai fatto tu sopra, "la dimostrazione non funziona".
Per il punto 1, io intendo questo: considera la restrizione di \(x\) a \([0, T]\) e definiscine il prolungamento periodico come la funzione
\[
\tilde{x}(t)=\begin{cases}
x(t) & 0\le t \le T \\
x(t-T) & T < t \le 2T \\
x(t-2T) & 2T < t \le 3T \\
\vdots & \vdots\end{cases}\]
Ovvero, ripeti ciclicamente il ramo di grafico compreso tra \(0\) e \(T\). Dimostra che \(\tilde{x}\) è soluzione dell'equazione differenziale assegnata. Quindi concludi mediante teorema di unicità locale che \(x\equiv \tilde{x}\).
\[
\displaystyle {x}{\left({t}\right)}={{e}}^{{{t}}}-{2000}{\left({\sin{{\left({t}\right)}}}+{\cos{{\left({t}\right)}}}\right)}
\]
Lo stesso appunto va fatto a me che scrivevo \(x^2\) dove avrei dovuto scrivere \(t^2\), come giustamente affermi tu.
Riguardo il tuo esempio, va bene (è solo un po' troppo complicato). Io obiettavo sul metodo: per fabbricare un controesempio bisogna esibirlo esplicitamente e non limitarsi a dire, come hai fatto tu sopra, "la dimostrazione non funziona".
Per il punto 1, io intendo questo: considera la restrizione di \(x\) a \([0, T]\) e definiscine il prolungamento periodico come la funzione
\[
\tilde{x}(t)=\begin{cases}
x(t) & 0\le t \le T \\
x(t-T) & T < t \le 2T \\
x(t-2T) & 2T < t \le 3T \\
\vdots & \vdots\end{cases}\]
Ovvero, ripeti ciclicamente il ramo di grafico compreso tra \(0\) e \(T\). Dimostra che \(\tilde{x}\) è soluzione dell'equazione differenziale assegnata. Quindi concludi mediante teorema di unicità locale che \(x\equiv \tilde{x}\).
"dissonance":
Attenzione alle \(x\) e alle \(t\). Per esempio è
\[
\displaystyle {x}{\left({t}\right)}={{e}}^{{{t}}}-{2000}{\left({\sin{{\left({t}\right)}}}+{\cos{{\left({t}\right)}}}\right)}
\]
Lo stesso appunto va fatto a me che scrivevo \(x^2\) dove avrei dovuto scrivere \(t^2\), come giustamente affermi tu.
L'indecisione sulla scelta di notazione "fisica" o "matematica" genera mostri... XD
Riguardo il tuo esempio, va bene (è solo un po' troppo complicato). Io obiettavo sul metodo: per fabbricare un controesempio bisogna esibirlo esplicitamente e non limitarsi a dire, come hai fatto tu sopra, "la dimostrazione non funziona".
Hai perfettamente ragione, a mia discolpa ti dico che non voleva essere assolutamente una dimostrazione, nè tantomeno una spiegazione rigorosa.
Per il punto 1, io intendo questo: considera la restrizione di \(x\) a \([0, T]\) e definiscine il prolungamento periodico come la funzione
\[
\tilde{x}(t)=\begin{cases}
x(t) & 0\le t \le T \\
x(t-T) & T < t \le 2T \\
x(t-2T) & 2T < t \le 3T \\
\vdots & \vdots\end{cases}\]
Non ci sarei mai arrivato!
Ovvero, ripeti ciclicamente il ramo di grafico compreso tra \(0\) e \(T\). Dimostra che \(\tilde{x}\) è soluzione dell'equazione differenziale assegnata. Quindi concludi mediante teorema di unicità locale che \(x\equiv \tilde{x}\).
Sicuramente più elegante. Grazie ancora!
E' tutta questione di ragionamento grafico. Mai sentito parlare di "campo delle pendenze" di una equazione differenziale ordinaria? Ragionando in termini di questo concetto arrivi subito ad intuire il risultato. Dopodiché si tratta solo di formalizzarlo.
Si parla di campo delle pendenze in queste brevi lezioni online:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx
Prova a dare un'occhiata.
Si parla di campo delle pendenze in queste brevi lezioni online:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx
Prova a dare un'occhiata.
C'è un bel po' di roba...
Grazie! Sicuramente ci darò uno sguardo!
Grazie! Sicuramente ci darò uno sguardo!
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