Problemi svolgimento trasformata fourier
Ciao a tutti, ho dei problemi nello svolgimento di queste trasformate:
- $ t*e^(-t^2) $
La prima cosa che mi è venuta in mente per risolverla è che potrei applicare la definizione di derivata di fourier, perchè dalle trasformate notevoli so risolvere $ e^(-t^2) $ , ma qui ho due problemi
1) manca un 2 nella funzione per poter applicare questo
2) girando su internet ho visto questo metodo, ma non sono riuscito a capire bene come applicarlo e quale è la formula precisa dato che sulle dispense del mio professore, per quanto possa sembrare strano, non ho trovato nessun riferimento a questo. In generale ho visto che si usa $ 2Pi i*(partial f)/(partial x) $ dove la funzione sarebbe la trasformata di fourier in questo caso di $ e^-(t^2) $
- $ e^(-2t^2+4t) $
Sinceramente non saprei come muovermi in questo caso, non mi è venuto nulla in mente
-$ cos (t) $
Di questa l'unica cosa che ho pensato è che dato che è una funzione pari, avrei potuto calcolare la trasformata usando l'integrale "semplificato", il problema è che nella soluzione dell'esercizio usa le delta di dirac e quindi vorrei sapere intanto come potrei ragionare per risolverla e anche perché usa le distribuzioni
Sicuramente saranno domande stupide ma vi chiedo di aver pazienza, sto studiando da dispense perchè non ho avuto la possibilità di andare a lezione e non mi sta riuscendo molto facile capire questi argomenti... grazie mille
- $ t*e^(-t^2) $
La prima cosa che mi è venuta in mente per risolverla è che potrei applicare la definizione di derivata di fourier, perchè dalle trasformate notevoli so risolvere $ e^(-t^2) $ , ma qui ho due problemi
1) manca un 2 nella funzione per poter applicare questo
2) girando su internet ho visto questo metodo, ma non sono riuscito a capire bene come applicarlo e quale è la formula precisa dato che sulle dispense del mio professore, per quanto possa sembrare strano, non ho trovato nessun riferimento a questo. In generale ho visto che si usa $ 2Pi i*(partial f)/(partial x) $ dove la funzione sarebbe la trasformata di fourier in questo caso di $ e^-(t^2) $
- $ e^(-2t^2+4t) $
Sinceramente non saprei come muovermi in questo caso, non mi è venuto nulla in mente
-$ cos (t) $
Di questa l'unica cosa che ho pensato è che dato che è una funzione pari, avrei potuto calcolare la trasformata usando l'integrale "semplificato", il problema è che nella soluzione dell'esercizio usa le delta di dirac e quindi vorrei sapere intanto come potrei ragionare per risolverla e anche perché usa le distribuzioni
Sicuramente saranno domande stupide ma vi chiedo di aver pazienza, sto studiando da dispense perchè non ho avuto la possibilità di andare a lezione e non mi sta riuscendo molto facile capire questi argomenti... grazie mille
Risposte
1) Per quanto riguarda $ -t*e^(-t^2) $ :
Dovresti usare la proprietà di derivazione nel dominio delle frequenze che ha una forma del tipo:
$ (-t)^k * x(t) \rightarrow 1/(j 2 pi)^k * d^k/(df^k)[X(f)] $
Cosa significa la formula: se tu hai come fattore moltiplicativo di una funzione x(t), di cui supponiamo conoscere la trasformata, un termine $ -t $ alla k-esima potenza, nel dominio delle frequenze significa derivare K volte! Quindi, nel caso preso in esame, conosci la trasformata di $ e^(-x^2) $ , la moltiplichi per $ -t^k $, con k = 1, e poi derivi tante volte quanto vale k, nel nostro caso sempre 1.
2) Hai provato ad applicare la definizione? Di solito con gli esponenziali la definizione si presta bene.
3) Si dimostra che la trasformata del coseno vale
$ cos(2 pi f_0 t) \rightarrow 1/2 * [\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] $
Da dove escono le delte? Le delte escono dal fatto che il coseno lo puoi scrivere come
$ cos(2 pi f_0 t) = (e^(2pif_0t) + e^(-2pif_0t))/2 $
Andando a sostituire nella definizione di trasformata, alla fine ti restano due integrali con due termini costanti rispetto la variabile di integrazione, che ti contribuiscono a traslare le due delte che ottieni dalla trasformata (ti ricordo che la trasformata di una costante è una delta - e viceversa!-).
Spero di esserti stato utile
Dovresti usare la proprietà di derivazione nel dominio delle frequenze che ha una forma del tipo:
$ (-t)^k * x(t) \rightarrow 1/(j 2 pi)^k * d^k/(df^k)[X(f)] $
Cosa significa la formula: se tu hai come fattore moltiplicativo di una funzione x(t), di cui supponiamo conoscere la trasformata, un termine $ -t $ alla k-esima potenza, nel dominio delle frequenze significa derivare K volte! Quindi, nel caso preso in esame, conosci la trasformata di $ e^(-x^2) $ , la moltiplichi per $ -t^k $, con k = 1, e poi derivi tante volte quanto vale k, nel nostro caso sempre 1.
2) Hai provato ad applicare la definizione? Di solito con gli esponenziali la definizione si presta bene.
3) Si dimostra che la trasformata del coseno vale
$ cos(2 pi f_0 t) \rightarrow 1/2 * [\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] $
Da dove escono le delte? Le delte escono dal fatto che il coseno lo puoi scrivere come
$ cos(2 pi f_0 t) = (e^(2pif_0t) + e^(-2pif_0t))/2 $
Andando a sostituire nella definizione di trasformata, alla fine ti restano due integrali con due termini costanti rispetto la variabile di integrazione, che ti contribuiscono a traslare le due delte che ottieni dalla trasformata (ti ricordo che la trasformata di una costante è una delta - e viceversa!-).
Spero di esserti stato utile
Grazie mille salvatore 
però avrei ancora delle domande
Quindi per la prima mi stai dicendo che non c'entra trovare derivata o meno della funzione di cui devo fare la trasformata ma uso quella proprietà solo nei casi in cui mi ritrovo la mia funzione in x, moltiplicata per qualche x?
Mentre per l'ultima, diciamo che trovando le delta di dirac avevo immaginato una trasformazione simile, più che altro essendo semplicemente $ cos x $ non pensavo diventasse $ cos 2 pi ft $ .. questo deriva dalla periodicità del coseno e quindi è semplicemente un altro modo per scriverlo?
però avrei ancora delle domandeQuindi per la prima mi stai dicendo che non c'entra trovare derivata o meno della funzione di cui devo fare la trasformata ma uso quella proprietà solo nei casi in cui mi ritrovo la mia funzione in x, moltiplicata per qualche x?
Mentre per l'ultima, diciamo che trovando le delta di dirac avevo immaginato una trasformazione simile, più che altro essendo semplicemente $ cos x $ non pensavo diventasse $ cos 2 pi ft $ .. questo deriva dalla periodicità del coseno e quindi è semplicemente un altro modo per scriverlo?
1) La proprietà ti dice che se hai una situazione del tipo $ (-t)^k * f(x) $ , devi fare i seguenti passaggi: prima ti trovi la trasformata di f(x) e poi la derivi tante volte quanto vale k.
2) Attenzione, $ f_0 $ contenuto nella definizione del coseno, $ cos(2pif_0t) $ , non è una variabile ma un numero reale (in generale). Quell' $ f_0 $ è proprio il periodo del nostro coseno, infatti $ T_0 = 1/(f_0) $.
2) Attenzione, $ f_0 $ contenuto nella definizione del coseno, $ cos(2pif_0t) $ , non è una variabile ma un numero reale (in generale). Quell' $ f_0 $ è proprio il periodo del nostro coseno, infatti $ T_0 = 1/(f_0) $.
Allora per quanto riguarda la prima e l'ultima tutto apposto
Per la seconda sinceramente applicando la definizione mi viene fuori una roba che dovrebbe essere tipo $ int_(R)^() e^(-2t^2+4t-2piivt) dt $ ma che non saprei da dove cominciare per risolverla
Per la terza se non ho capito male stai moltiplicando e dividendo per $2pi$ ? Forse non era quello a cui ti riferivi, diciamo che sbirciando su internet ho visto la soluzione per la trasformata del seno e praticamente, dal poco che ne capisco, moltiplicavano e dividevano per $2pi$ in modo da riportarsi nella forma della trasformata nota, la cui soluzione è la delta di dirac.
Per la seconda sinceramente applicando la definizione mi viene fuori una roba che dovrebbe essere tipo $ int_(R)^() e^(-2t^2+4t-2piivt) dt $ ma che non saprei da dove cominciare per risolverla
Per la terza se non ho capito male stai moltiplicando e dividendo per $2pi$ ? Forse non era quello a cui ti riferivi, diciamo che sbirciando su internet ho visto la soluzione per la trasformata del seno e praticamente, dal poco che ne capisco, moltiplicavano e dividevano per $2pi$ in modo da riportarsi nella forma della trasformata nota, la cui soluzione è la delta di dirac.
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