Problemi sviluppo divergenza (in campo fluidodinamico)
Buonasera a tutti,
in questi giorni ho iniziato ad affacciarmi al mondo della fluidodinamica ed in particolar modo alle equazioni di conservazione di massa, quantità di moto ed energia. Nessun problema. Tuttavia mi sto confrontando con seri problemi quando incontro la divergenza e devo svilupparla. un esempio pratico mi consentirà di spiegare meglio.
Nella conservazione della massa ad un certo punto ho a che fare con un termine del tipo:
$\nabla* (rho u)$. OK! sò che sviluppando e applicando le formule questo diventa:
$\nabla* (rho u) = u * \nabla rho + rho \nabla*u$
dove $rho$ è la densità del fluido ed $u$ è il vettore velocità.
Il problema sorge nel momento in cui ho a che fare con cose di questo genere:
$\nabla* (rho u u)$. Ho pensato di sviluppare il tutto come prima, raggruppando il termine $rho u$ sotto un unico termine $X$ e quindi scrivere:
$\nabla* (X u) = u* \nablaX + X nabla*u = u* \nabla(rho u) + rho u \nabla*(u)$
Con la stessa notazione di cui sopra.
Tuttavia la mia dispensa lo sviluppa come
$\nabla*(rho u u)= rho u * \nabla u + u nabla*(rho u)$.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come fare?
Vi ringrazio!
in questi giorni ho iniziato ad affacciarmi al mondo della fluidodinamica ed in particolar modo alle equazioni di conservazione di massa, quantità di moto ed energia. Nessun problema. Tuttavia mi sto confrontando con seri problemi quando incontro la divergenza e devo svilupparla. un esempio pratico mi consentirà di spiegare meglio.
Nella conservazione della massa ad un certo punto ho a che fare con un termine del tipo:
$\nabla* (rho u)$. OK! sò che sviluppando e applicando le formule questo diventa:
$\nabla* (rho u) = u * \nabla rho + rho \nabla*u$
dove $rho$ è la densità del fluido ed $u$ è il vettore velocità.
Il problema sorge nel momento in cui ho a che fare con cose di questo genere:
$\nabla* (rho u u)$. Ho pensato di sviluppare il tutto come prima, raggruppando il termine $rho u$ sotto un unico termine $X$ e quindi scrivere:
$\nabla* (X u) = u* \nablaX + X nabla*u = u* \nabla(rho u) + rho u \nabla*(u)$
Con la stessa notazione di cui sopra.
Tuttavia la mia dispensa lo sviluppa come
$\nabla*(rho u u)= rho u * \nabla u + u nabla*(rho u)$.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come fare?
Vi ringrazio!
Risposte
Quello che mi crea difficoltà è che $ρ \vec u * \vec u$ è uno scalare e quindi la divergenza non è definita. Stessi problemi con le espressioni che hai scritto dopo, dove ogni tanto viene fatto il gradiente di un vettore.
Vedendo il risultato della tua dispensa, infatti, hai un gradiente e non una divergenza. Applichiamo quindi la formula corretta che trovi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Del#Product_rules (seconda)
Se i primi due termini sono nulli per qualsiasi motivo, allora ottieni il risultato del tuo professore. Unica perplessità è che non sono state usate le parentesi, ma magari è una questione di notazione.
Vedendo il risultato della tua dispensa, infatti, hai un gradiente e non una divergenza. Applichiamo quindi la formula corretta che trovi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Del#Product_rules (seconda)
Se i primi due termini sono nulli per qualsiasi motivo, allora ottieni il risultato del tuo professore. Unica perplessità è che non sono state usate le parentesi, ma magari è una questione di notazione.
Scusami, avevo indicato erroneamente nell'ultima formula delle dispense un gradiente al posto di una divergenza. Ho modificato il messaggio originale e riporto qui la formula corretta presa dalle dispense.
$\nabla*(rho u u)= rho u * \nabla u + u nabla*(rho u)$.
Stessi dubbi, ancora non capisco come si arriva a sviluppare tale divergenza in quel modo. Onestamente non mi è mai capitato un caso simile
$\nabla*(rho u u)= rho u * \nabla u + u nabla*(rho u)$.
Stessi dubbi, ancora non capisco come si arriva a sviluppare tale divergenza in quel modo. Onestamente non mi è mai capitato un caso simile
Proviamo a dare un po' di contesto. Da dove viene quest'espressione? Cosa stai cercando di fare?
Dunque, voglio arrivare alla conservazione della quantita di moto partendo da una relazione generale che lega una grandezza estensiva ad una intensiva. Quindi, preso un volume di controllo R delimitato dalla sua superficie S, la grandezza estensiva G potrà essere scritta, in funzione della grandezza intensiva Q, come:
$G = int rho Q d tau$ $[eq.1]$
esteso ad R, con $rho$ densità del fluido nell'elementino di volume $d tau$.
Se vogliamo calcolare la variazione di G nel tempo, dobbiamo tenere in considerazione vari fenomeni quali flussi di massa, creazioni di G dovute per esempio a reazioni chimiche, ecc.
Per questo possiamo scrivere che
$(dG)/dt=-int (rho u*n) Q dS + y$ $[eq.2]$
con $u$ vettore velocità, $n$ versore normale alla superficie e $Y$ sono termini dovuti a tutti gli altri fenomeni ad esclusione del flusso di massa.
Entriamo più nel dettaglio e scriviamo queste equazioni per la quantità di moto; G sarà proprio la mia quantita di moto e la sua Q sarà uguale al vettore u, tale per cui l'eq.1 si può riscrivere come:
$G = int rho u d tau$
e l'eq.2 può essere riscritta come segue:
$d/dt int rho u d tau=-int (rho u*n) u dS + y$
dove nel termine y sono raggruppati gli integrali riguardanti gli sforzi di pressione, le tensioni superficiali e l'effetto della forza di gravità, che ai fini della discussione non espliciterò.
Applichiamo il teorema di Gauss, per passare da integrali di superficie a quelli di volume e si avrà:
$d/dt int rho u d tau + int \nabla * (rho u u) d tau = Y$
dove con Y grande ho inteso tutti gli integrali di superficie trasformati in integrali di volume. L'unica maniera affinché il primo termine sia uguale al secondo, è che le funzioni integrande siano uguali tra di loro (ho saltato il passaggio in cui raggruppo tutto sotto un unico integrale di volume in $d tau$). Perciò:
$d/dt (rho u) + \nabla*(rho u u) = Y_t$
($Y_t$ sono solo le funzioni integrande a cui ho applicato, se necessario, il teorema di Gauss).
Sviluppiamo il primo termine:
$(d rho)/dt u + (d u)/dt rho + ??? = Y$
Dove con i punti interrogativi dovrei andare a sostituiere lo sviluppo di quella divergenza. Come detto, tra me e le dispense c'è disaccordo però!
$G = int rho Q d tau$ $[eq.1]$
esteso ad R, con $rho$ densità del fluido nell'elementino di volume $d tau$.
Se vogliamo calcolare la variazione di G nel tempo, dobbiamo tenere in considerazione vari fenomeni quali flussi di massa, creazioni di G dovute per esempio a reazioni chimiche, ecc.
Per questo possiamo scrivere che
$(dG)/dt=-int (rho u*n) Q dS + y$ $[eq.2]$
con $u$ vettore velocità, $n$ versore normale alla superficie e $Y$ sono termini dovuti a tutti gli altri fenomeni ad esclusione del flusso di massa.
Entriamo più nel dettaglio e scriviamo queste equazioni per la quantità di moto; G sarà proprio la mia quantita di moto e la sua Q sarà uguale al vettore u, tale per cui l'eq.1 si può riscrivere come:
$G = int rho u d tau$
e l'eq.2 può essere riscritta come segue:
$d/dt int rho u d tau=-int (rho u*n) u dS + y$
dove nel termine y sono raggruppati gli integrali riguardanti gli sforzi di pressione, le tensioni superficiali e l'effetto della forza di gravità, che ai fini della discussione non espliciterò.
Applichiamo il teorema di Gauss, per passare da integrali di superficie a quelli di volume e si avrà:
$d/dt int rho u d tau + int \nabla * (rho u u) d tau = Y$
dove con Y grande ho inteso tutti gli integrali di superficie trasformati in integrali di volume. L'unica maniera affinché il primo termine sia uguale al secondo, è che le funzioni integrande siano uguali tra di loro (ho saltato il passaggio in cui raggruppo tutto sotto un unico integrale di volume in $d tau$). Perciò:
$d/dt (rho u) + \nabla*(rho u u) = Y_t$
($Y_t$ sono solo le funzioni integrande a cui ho applicato, se necessario, il teorema di Gauss).
Sviluppiamo il primo termine:
$(d rho)/dt u + (d u)/dt rho + ??? = Y$
Dove con i punti interrogativi dovrei andare a sostituiere lo sviluppo di quella divergenza. Come detto, tra me e le dispense c'è disaccordo però!
Secondo me per $uu$ si intende $u\otimes u$, il prodotto tensoriale di due vettori che è una matrice. La divergenza di una matrice è un vettore.
Mi pare che tu voglia derivare Navier-Stokes partendo dal teorema del trasporto di Reynolds. Scusa per il secondo link a wikipedia, ma contiene la soluzione ai tuoi problemi: https://en.wikipedia.org/wiki/Derivatio ... m_equation
Si tratta proprio di tensori. Esistono altre dimostrazioni dove consideri un cubo infinitesimale come volume di controllo e non hai bisogno che di scalari e vettori, ma penso sia meglio se fai come trovi sulle dispense.
Si tratta proprio di tensori. Esistono altre dimostrazioni dove consideri un cubo infinitesimale come volume di controllo e non hai bisogno che di scalari e vettori, ma penso sia meglio se fai come trovi sulle dispense.
"dissonance":
Secondo me per $uu$ si intende $u\otimes u$, il prodotto tensoriale di due vettori che è una matrice. La divergenza di una matrice è un vettore.
si, è un tensore del secondo ordine quindi a tutti gli effetti una matrice contenente le velocità lungo le 3 direzioni:
$((u^2, uv, uw),(vu,v^2,vw),(wu,wv,w^2))$
"Resilienza":
Mi pare che tu voglia derivare Navier-Stokes partendo dal teorema del trasporto di Reynolds. Scusa per il secondo link a wikipedia, ma contiene la soluzione ai tuoi problemi: https://en.wikipedia.org/wiki/Derivatio ... m_equation
Si tratta proprio di tensori. Esistono altre dimostrazioni dove consideri un cubo infinitesimale come volume di controllo e non hai bisogno che di scalari e vettori, ma penso sia meglio se fai come trovi sulle dispense.
No, anzi ti ringrazio per i link! Osservando bene sulle dispense mancherebbe un termine e questo link mi sembra più completo ed esplicita i passaggi!
Piuttosto vorrei capire perché sviluppa la divergenza in quel modo e se è possibile arrivare ad una forma generale così come facciamo per questo tipo di divergenza:
$\nabla*(yX) = X*\nablay + y \nabla*X$
"Paradise":
Piuttosto vorrei capire perché sviluppa la divergenza in quel modo e se è possibile arrivare ad una forma generale così come facciamo per questo tipo di divergenza:
$\nabla*(yX) = X*\nablay + y \nabla*X$
Per questo genere di formule ti conviene fare i calcoli con la notazione indiciale.
Per l'esempio iniziale, verrebbe
\[
\nabla \cdot (\rho u) = \sum_i \frac{\partial \rho u^i}{\partial x^i} = \sum_i \rho \frac{\partial u^i}{\partial x^i} + u^i \frac{\partial \rho}{\partial x^i} = \rho \nabla \cdot u + u \cdot \nabla\rho.
\]
Per espressioni in cui il risultato non è uno scalare, fai i conti lasciando indicato il generico indice e poi ne deduci la forma vettoriale.
"Raptorista":
Per espressioni in cui il risultato non è uno scalare, fai i conti lasciando indicato il generico indice e poi ne deduci la forma vettoriale.
Scusami, potresti essere più esplicito? Non riesco a seguirti; cosa intendi per "dedurre la forma vettoriale"?
Sviluppando con la notazione indiciale sarebbe:
$\nabla*(rho u u)= \sum_{i} (\partial (rho u^i u^i))/(\partial x^i)=u^i u^i (\partial rho)/(\partial x^i) + \sum_{i}rho u^i (\partial u^i)/(\partial x^i) + ??? = u u\nabla rho + rho u\nabla*u + ???$
i termini mancanti nei ??? sarebbero ancora:
$\sum_{i}rho u^i (\partial u^i)/(\partial x^i) = rho u\nabla*u$.
mi mancherebbe il termine in $rho u \nablau$ per completare la relazione.
Temo di non aver capito il tuo ragionamento...
Deduci l'espressione vettoriale nel senso che deduci quale espressione vettoriale ti dà gli elementi a cui arrivi.
Nel caso della tua espressione, sai che la divergenza di \(\rho u \otimes u\) è un vettore, quindi avrai un indice libero, sia \(j\).
L'elemento \(j\)-esimo del vettore risultante sarà
\[
(\nabla \cdot (\rho u \otimes u))_j = \sum_i \frac{\partial \rho u^j u^i}{\partial x^i} = \sum_i \rho u^j \frac{\partial u^i}{\partial x^i} + u^i \frac{\partial \rho u^j}{\partial x^i} = (\rho u \nabla \cdot u + u \cdot \nabla (\rho u))_j.
\]
Ma se le due quantità vettoriali sono uguali per ogni componente \(j\), allora sono uguali tra loro e concludi che
\[
\nabla \cdot (\rho u \otimes u) = \rho u \nabla \cdot u + u \cdot \nabla (\rho u)
\]
che è la formula che volevi.
Nel caso della tua espressione, sai che la divergenza di \(\rho u \otimes u\) è un vettore, quindi avrai un indice libero, sia \(j\).
L'elemento \(j\)-esimo del vettore risultante sarà
\[
(\nabla \cdot (\rho u \otimes u))_j = \sum_i \frac{\partial \rho u^j u^i}{\partial x^i} = \sum_i \rho u^j \frac{\partial u^i}{\partial x^i} + u^i \frac{\partial \rho u^j}{\partial x^i} = (\rho u \nabla \cdot u + u \cdot \nabla (\rho u))_j.
\]
Ma se le due quantità vettoriali sono uguali per ogni componente \(j\), allora sono uguali tra loro e concludi che
\[
\nabla \cdot (\rho u \otimes u) = \rho u \nabla \cdot u + u \cdot \nabla (\rho u)
\]
che è la formula che volevi.
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