Problemi sulle successioni e la relazione di asintotico

[luca7111]

Ciao a tutti! Avrei alcuni problemi che non riesco a risolvere.
Supponiamo di avere due successioni An e Bn che tendono allo stesso limite l per n->+∞. Quindi le due successioni sono asintotiche, giusto?
Il logaritmo di An è asintotico al logaritmo di Bn? E se lo è, è SEMPRE così?
La stessa domanda per l'esponenziale: e elevato ad An è asintotico a e elevato a Bn?
Grazie mille in anticipo (e scusate se non ho usato simboli matematici ma la domanda è abbastanza urgente).

[billyballo2123]

"luca711":
Supponiamo di avere due successioni An e Bn che tendono allo stesso limite l per n->+∞. Quindi le due successioni sono asintotiche, giusto?

No. Se $A_n=0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ e $B_n=1/n$, allora sia $A_n$ che $B_n$ convergono a $0$, ciononostante
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{A_n}{B_n}=\lim_{n\to+\infty}0=0.
\]
Oppure se $A_n=n$ e $B_n=n^2$, allora sia $A_n$ che $B_n$ tendono a $+\infty$, ma
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{A_n}{B_n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0.
\]

Se però $l$ è finito e diverso da $0$, allora è vero.

"luca711":
Il logaritmo di An è asintotico al logaritmo di Bn? E se lo è, è SEMPRE così?

Se $l>0$ è finito e diverso da $1$ allora si, altrimenti si hanno i controesempi:
$l=1$: $A_n=1+1/{n^2}$ e $B_n=1+1/n$; allora
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln A_n}{\ln B_n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{n^2})}{\ln(1+\frac{1}{n})}
=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}\frac{n}{1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0
\]

Se $l=0$: $A_n=1/{n^2}$ e $B_n=1/n$; allora
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln A_n}{\ln B_n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln \frac{1}{n^2}}{\ln \frac{1}{n}}
=\lim_{n\to+\infty}\frac{2\ln \frac{1}{n}}{\ln \frac{1}{n}}=2
\]

$l=+\infty$: $A_n=n^2$ e $B_n=n$; allora
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln A_n}{\ln B_n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n^2}{\ln n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{2\ln n}{\ln n}=2
\]

"luca711":
La stessa domanda per l'esponenziale: e elevato ad An è asintotico a e elevato a Bn?

Se $l$ è un numero reale si, se invece $l=\pm\infty$ allora no. Ad esempio se $A_n=n^2+n$ e $B_n=n^2$, allora $A_n ~ B_n$ ma
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{A_n}}{e^{B_n}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{n^2}e^n}{e^{n^2}}=\lim_{n\to+\infty}e^n=+\infty.
\]
Analogamente se $A_n=-n^2-n$ e $B_n=-n$,
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{A_n}}{e^{B_n}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{-n^2}e^{-n}}{e^{-n^2}}=\lim_{n\to+\infty}e^{-n}=0.
\]