Problemi sulla soluzione massimale di un problema di cauchy
Ciao a tutti... scusate il disturbo, sono alle prese con analisi 2 e non riesco a comprendere bene cosa fare in una tipologia di esercizi che è la seguente:
faccio un esempio che non riesco a risolvere:
Dato il Problema di Cauchy:
$ { ( y'=(xe^(-y)/(x+4)) ),( y(0)=a ):} $ con: $ a in RR $
1) determinare la soluzione locale
2) stabilire per quali valori del parametro reale a la soluzione massimale è definita su (-4, $ +oo $ ).
Ho fatto così:
1) Ho visto che il secondo membro dell'equazione differenziale (che chiamerò per brevità f(x,y)) è definito e che la sua derivata parziale lungo y è continua nell'insieme di definizione della funzione stessa, perciò ho dedotto che l'insieme in cui cercare le soluzioni sarà $RR^2$ e che, per il teorema di esistenza ed unicità avrò un'unica soluzione in un intorno di (0,a).
DOMANDA 1: Fin qui è tutto corretto???
Dopo ho visto che era un'equazione a variabili separabili; ed ho quindi notato che la funzione $k(y)=e^(-y)$ non si annulla mai per qualsiasi valore di y, perciò ho dedotto che non ci siano soluzioni costanti.
Quindi ho utililizzato il solito metodo risolutivo per questo tipo di problemi e sono giunto alla soluzione:
$ y(x)= a + log(x/(4log((x+4)/4))) $
Da qui non sò più andare avanti con sicurezza... penso di aver compreso che la soluzione massimale altro non è che il più grande intorno di (x0,y0) possibile...
ho perciò cercato le condizioni di esistenza di questa equazione... ho quindi posto: $log((x+4)/4) != 1$ e maggiore di 0 che mi da: x>-4 e $x!=0$ e poi ho imposto anche quelle più generali dove tutto il logaritmo più esterno dovesse esistere trovando alla fine un intervallo delle soluzioni che è $I=(0,$ +oo $ ).
E qui iniziano i miei dubbi:
DOMANDA 2: ammesso che tutto ciò che ho fin qui scritto sia corretto (e non ci metterei la mano sul fuoco
) alla domanda due come dovrei rispondere? perchè a non influenza in alcun modo l'esistenza della soluzione perciò sarei portato a dire tutto $RR$ ma dalle mie condizioni di esistenza risulta che la soluzione massimale può esistere SOLO in I e non in (-4, $ +oo $ )... Perciò mi verrebbe da rispondere che non esistono valori reali di a perchè la soluzione massimale non è mai definita sull'intervallo richiesto.
Come vedete ho parecchi dubbi, ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno illuminarmi...
faccio un esempio che non riesco a risolvere:
Dato il Problema di Cauchy:
$ { ( y'=(xe^(-y)/(x+4)) ),( y(0)=a ):} $ con: $ a in RR $
1) determinare la soluzione locale
2) stabilire per quali valori del parametro reale a la soluzione massimale è definita su (-4, $ +oo $ ).
Ho fatto così:
1) Ho visto che il secondo membro dell'equazione differenziale (che chiamerò per brevità f(x,y)) è definito e che la sua derivata parziale lungo y è continua nell'insieme di definizione della funzione stessa, perciò ho dedotto che l'insieme in cui cercare le soluzioni sarà $RR^2$ e che, per il teorema di esistenza ed unicità avrò un'unica soluzione in un intorno di (0,a).
DOMANDA 1: Fin qui è tutto corretto???
Dopo ho visto che era un'equazione a variabili separabili; ed ho quindi notato che la funzione $k(y)=e^(-y)$ non si annulla mai per qualsiasi valore di y, perciò ho dedotto che non ci siano soluzioni costanti.
Quindi ho utililizzato il solito metodo risolutivo per questo tipo di problemi e sono giunto alla soluzione:
$ y(x)= a + log(x/(4log((x+4)/4))) $
Da qui non sò più andare avanti con sicurezza... penso di aver compreso che la soluzione massimale altro non è che il più grande intorno di (x0,y0) possibile...
ho perciò cercato le condizioni di esistenza di questa equazione... ho quindi posto: $log((x+4)/4) != 1$ e maggiore di 0 che mi da: x>-4 e $x!=0$ e poi ho imposto anche quelle più generali dove tutto il logaritmo più esterno dovesse esistere trovando alla fine un intervallo delle soluzioni che è $I=(0,$ +oo $ ).
E qui iniziano i miei dubbi:
DOMANDA 2: ammesso che tutto ciò che ho fin qui scritto sia corretto (e non ci metterei la mano sul fuoco
) alla domanda due come dovrei rispondere? perchè a non influenza in alcun modo l'esistenza della soluzione perciò sarei portato a dire tutto $RR$ ma dalle mie condizioni di esistenza risulta che la soluzione massimale può esistere SOLO in I e non in (-4, $ +oo $ )... Perciò mi verrebbe da rispondere che non esistono valori reali di a perchè la soluzione massimale non è mai definita sull'intervallo richiesto.Come vedete ho parecchi dubbi, ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno illuminarmi...
Risposte
Non c'è proprio nessuno che sa rispondermi perfavore? 
Mi sembra sbagliata la soluzione generale che hai ottenuto.
In ogni caso, in forma implicita la soluzione è data da
$\int_a^y e^s ds = \int_0^x \frac{t}{t+4} dt$, o se preferisci
$F(y) = G(x)$.
Tu vuoi ricavare $y=y(x)$, cosa in linea di principio sempre possibile perché il metodo stesso di separazione di variabili ti porta ad avere $F$ strettamente monotona (crescente o decrescente; in questo caso crescente).
Diciamo dunque che la tua funzione $F$ è definita e strettamente monotona in un intervallo $J$ contenente $y_0$, mentre $G$ è definita in un intervallo $I$ contente $x_0$. (Naturalmente $(x_0, y_0)$ è il dato iniziale del problema di Cauchy, in questo caso $(0, a)$.)
Di conseguenza l'intervallo massimale di definizione della soluzione sarà dato dal più grande intervallo $I'\subset I$ contenente $x_0$ e tale che $G(I') \subset F(J)$.
Nel caso in questione $J = \mathbb{R}$, $I = (-4, +\infty)$, $F(y) = e^y - e^a$, $G(x) = x - 4 \log(\frac{x+4}{4})$.
Poiché $F(J) = (-e^a, +\infty)$, dovrai cercare il più grande intervallo $I' \subset (-4, +\infty)$ contenente $0$ e tale che $G(I') \subset (-e^a, +\infty)$.
Hai che $\lim_{x\to -4^+} G(x) = \lim_{x\to +\infty} G(x) = +\infty$, $G$ ha un punto di minimo assoluto in $0$ (dove vale $0$).
Di conseguenza $G(I) \subset F(J)$, per cui la soluzione massimale è sempre definita su tutto $I$ (quale che sia il valore di $a$).
P.S.: la soluzione è $y(x) = \log (e^a + G(x))$, $x> -4$.
In ogni caso, in forma implicita la soluzione è data da
$\int_a^y e^s ds = \int_0^x \frac{t}{t+4} dt$, o se preferisci
$F(y) = G(x)$.
Tu vuoi ricavare $y=y(x)$, cosa in linea di principio sempre possibile perché il metodo stesso di separazione di variabili ti porta ad avere $F$ strettamente monotona (crescente o decrescente; in questo caso crescente).
Diciamo dunque che la tua funzione $F$ è definita e strettamente monotona in un intervallo $J$ contenente $y_0$, mentre $G$ è definita in un intervallo $I$ contente $x_0$. (Naturalmente $(x_0, y_0)$ è il dato iniziale del problema di Cauchy, in questo caso $(0, a)$.)
Di conseguenza l'intervallo massimale di definizione della soluzione sarà dato dal più grande intervallo $I'\subset I$ contenente $x_0$ e tale che $G(I') \subset F(J)$.
Nel caso in questione $J = \mathbb{R}$, $I = (-4, +\infty)$, $F(y) = e^y - e^a$, $G(x) = x - 4 \log(\frac{x+4}{4})$.
Poiché $F(J) = (-e^a, +\infty)$, dovrai cercare il più grande intervallo $I' \subset (-4, +\infty)$ contenente $0$ e tale che $G(I') \subset (-e^a, +\infty)$.
Hai che $\lim_{x\to -4^+} G(x) = \lim_{x\to +\infty} G(x) = +\infty$, $G$ ha un punto di minimo assoluto in $0$ (dove vale $0$).
Di conseguenza $G(I) \subset F(J)$, per cui la soluzione massimale è sempre definita su tutto $I$ (quale che sia il valore di $a$).
P.S.: la soluzione è $y(x) = \log (e^a + G(x))$, $x> -4$.
Prima di tutto ti ringrazio sinceramente per avermi risposto 
, ti devo però chiedere un attimo ancora di pazienza perchè non ho capito bene alcuni punti:
Non ho ben capito cosa intendi con $G(I')subF(J)$ e poi perchè hai fatto i limiti di G(x)...
Scusami se disturbo ancora eh ma è che non sono molto ferrato in analisi
Fra l'altro, non è che c'è un metodo generale per affrontare questo tipo di problemi? perchè per esempio ho lo stesso tipo di problema anche con quest'altro problema di cauchy:
determina la soluzione locale di: $ { ( 2y'=xy^3(x-1)^2 ),( y(0)=a ):} con a in RR $
e verifica che per ogni $a != 0$ l'intervallo massimale di definizione è limitato...
Anche qui infatti la prima parte la riesco a risolvere ma la seconda non capisco proprio come farla
, ti devo però chiedere un attimo ancora di pazienza perchè non ho capito bene alcuni punti:Di conseguenza l'intervallo massimale di definizione della soluzione sarà dato dal più grande intervallo I'⊂I contenente x0 e tale che G(I')⊂F(J).
Nel caso in questione J=ℝ, I=(-4,+∞), F(y)=ey-ea, G(x)=x-4log(x+4/4).
Poiché F(J)=(-ea,+∞), dovrai cercare il più grande intervallo I'⊂(-4,+∞) contenente 0 e tale che G(I')⊂(-ea,+∞).
Hai che limx→-4+G(x)=limx→+∞G(x)=+∞, G ha un punto di minimo assoluto in 0 (dove vale 0).
Di conseguenza G(I)⊂F(J), per cui la soluzione massimale è sempre definita su tutto I (quale che sia il valore di a).
Non ho ben capito cosa intendi con $G(I')subF(J)$ e poi perchè hai fatto i limiti di G(x)...
Scusami se disturbo ancora eh ma è che non sono molto ferrato in analisi
Fra l'altro, non è che c'è un metodo generale per affrontare questo tipo di problemi? perchè per esempio ho lo stesso tipo di problema anche con quest'altro problema di cauchy:
determina la soluzione locale di: $ { ( 2y'=xy^3(x-1)^2 ),( y(0)=a ):} con a in RR $
e verifica che per ogni $a != 0$ l'intervallo massimale di definizione è limitato...
Anche qui infatti la prima parte la riesco a risolvere ma la seconda non capisco proprio come farla
"anto.massy":
Non ho ben capito cosa intendi con $G(I')sub F(J)$ e poi perchè hai fatto i limiti di G(x)...
$G(I') = \{ G(x): x\in I'\}$, cioè l'immagine di $I'$ attraverso $G$; $F(J)$ analogo.
Quindi, detta $F(J)$ l'immagine di $J$ attraverso $F$ (che è fissata), devi trovare il più grande intervallo $I'$ contenente $x_0$ t.c.
$g(x) \in F(J)$ per ogni $x\in I'$.
Ho calcolato limiti e minimo di $G$ per avere un'idea di com'è fatta $G$.
Fra l'altro, non è che c'è un metodo generale per affrontare questo tipo di problemi? perchè per esempio ho lo stesso tipo di problema anche con quest'altro problema di cauchy:
determina la soluzione locale di: $ { ( 2y'=xy^3(x-1)^2 ),( y(0)=a ):} con a in RR $
e verifica che per ogni $a != 0$ l'intervallo massimale di definizione è limitato...
Il metodo generale per determinare l'intervallo massimale di definizione è esattamente quello che ti ho esposto.
Prova ad applicarlo distinguendo i casi $a>0$ e $a<0$.
Ok, allora vediamo se ho capito: li ho rifatti tutti e due:
1) $ { ( y'=(xe^(-y))/(x+4) ),( y(0)=a ):} $
Allora: I= $ (-4,+oo) $ $J=RR$. E' definita e di classe C1 xciò esiste la soluzione in un intorno di (0,a).
Essa è: $ y(x)=log(e^a + x - 4log((x+4)/4) $
Ora: la soluzione massimale è il più grande intervallo I' contenuto in I che contiene x0...
Cerco di capire, studiandola un minimo, come si comporta G(x) e, facendo i limiti e trovando il minimo assoluto a 0, capisco che essa è sempre positiva o al più nulla...
(DOMANDA: IL MINIMO ASSOLUTO IN UNA FUNZIONE INTEGRALE DEL GENERE E' SEMPRE QUELLO DOVE L'INTEGRALE VALE 0, CIOE' QUANDO GLI ESTREMI D'INTEGRAZIONE SONO UGUALI?)
Visto che anche $e^a$ è sempre positivo, y(x) esiste sempre, cioè l'intervallo massimale I' coincide qui con I per ogni a reale.
2) $ { ( 2y'=xy^3(x-1)^2 ),( y(0)=a ):} $ Allora: I=J=$RR$. E' definita e di classe C1 su $RR^2$.
La soluzione è : $ y(x)=sqrt(1/(1/a^2-(x^2(3x^2-8x+6))/12) $
I' è l'intervallo che contiene x=0 e tale che Denominatore fra parentesi >o, cioè t.c: $1/a^2
DOMANDA: E' DA QUI CHE CONCLUDO CHE PER OGNI A i' e' LIMITATO O DEVO FARE QUALCHE ALTRO DISCORSO?
Grazie
1) $ { ( y'=(xe^(-y))/(x+4) ),( y(0)=a ):} $
Allora: I= $ (-4,+oo) $ $J=RR$. E' definita e di classe C1 xciò esiste la soluzione in un intorno di (0,a).
Essa è: $ y(x)=log(e^a + x - 4log((x+4)/4) $
Ora: la soluzione massimale è il più grande intervallo I' contenuto in I che contiene x0...
Cerco di capire, studiandola un minimo, come si comporta G(x) e, facendo i limiti e trovando il minimo assoluto a 0, capisco che essa è sempre positiva o al più nulla...
(DOMANDA: IL MINIMO ASSOLUTO IN UNA FUNZIONE INTEGRALE DEL GENERE E' SEMPRE QUELLO DOVE L'INTEGRALE VALE 0, CIOE' QUANDO GLI ESTREMI D'INTEGRAZIONE SONO UGUALI?)
Visto che anche $e^a$ è sempre positivo, y(x) esiste sempre, cioè l'intervallo massimale I' coincide qui con I per ogni a reale.
2) $ { ( 2y'=xy^3(x-1)^2 ),( y(0)=a ):} $ Allora: I=J=$RR$. E' definita e di classe C1 su $RR^2$.
La soluzione è : $ y(x)=sqrt(1/(1/a^2-(x^2(3x^2-8x+6))/12) $
I' è l'intervallo che contiene x=0 e tale che Denominatore fra parentesi >o, cioè t.c: $1/a^2
DOMANDA: E' DA QUI CHE CONCLUDO CHE PER OGNI A i' e' LIMITATO O DEVO FARE QUALCHE ALTRO DISCORSO?
Grazie
1) Nel tuo caso la funzione $G$ la puoi studiare esplicitamente. In generale, anche quando l'integrazione non può essere fatta in maniera esplicita, sai che $G(x_0)=0$ e inoltre conosci $G'(x)$, che è la funzione integranda; questo ti permette, di norma, di studiare gli intervalli di monotonia e di capire qual è l'andamento di $G$.
2) In generale, quando hai un problema di Cauchy per un'equazione a variabili separabili $y' = a(x) b(y)$, $y(x_0) = y_0$, l'intervallo $I$ che consideri in partenza per definire la $G(x)$ è il più grande intervallo contenente $x_0$ dove sia definita $a(x)$; nell'esempio da te fatto si ha $I=\mathbb{R}$.
Dopodiché, se $b(y_0) = 0$ hai già finito e la soluzione è quella costante, $y(x) = y_0$ per ogni $x\in I$.
Se invece $b(y_0) \ne 0$, l'intervallo $J$ è il più grande intervallo contenente $y_0$ su cui $b(y)$ sia definita e abbia segno costante. Questo dipende dal fatto che agli zeri di $b$ corrispondono soluzioni costanti che, per il teorema di unicità locale, non possono essere intersecate da altre soluzioni. (Naturalmente occorre assumere un minimo di regolarità, diciamo $a$ continua e $b$ Lipschitziana.)
In questo modo la funzione $\frac{1}{b(y)}$ è definita in $J$ (dal momento che $b$ non si annulla in $J$), e si può poi definire la funzione integrale $F$.
Tornando al tuo esempio, supponiamo per fissare le idee $y_0 > 0$ (nel tuo esempio $y_0$ è indicato con $a$, ma preferisco usare $y_0$ per mantenere le notazioni).
Dal momento che $b(y)$ si annulla per $y=0$, l'intervallo $J$ sarà quindi $(0,+\infty)$.
A questo punto puoi definire le funzioni
$F(y) = \int_{y_0}^y \frac{2}{s^3} ds$, $y\in J = (0,+\infty)$,
$G(x) = \int_0^x t(t-1)^2$, $x\in I = \mathbb{R}$,
e ragionare come nel primo esempio visto.
2) In generale, quando hai un problema di Cauchy per un'equazione a variabili separabili $y' = a(x) b(y)$, $y(x_0) = y_0$, l'intervallo $I$ che consideri in partenza per definire la $G(x)$ è il più grande intervallo contenente $x_0$ dove sia definita $a(x)$; nell'esempio da te fatto si ha $I=\mathbb{R}$.
Dopodiché, se $b(y_0) = 0$ hai già finito e la soluzione è quella costante, $y(x) = y_0$ per ogni $x\in I$.
Se invece $b(y_0) \ne 0$, l'intervallo $J$ è il più grande intervallo contenente $y_0$ su cui $b(y)$ sia definita e abbia segno costante. Questo dipende dal fatto che agli zeri di $b$ corrispondono soluzioni costanti che, per il teorema di unicità locale, non possono essere intersecate da altre soluzioni. (Naturalmente occorre assumere un minimo di regolarità, diciamo $a$ continua e $b$ Lipschitziana.)
In questo modo la funzione $\frac{1}{b(y)}$ è definita in $J$ (dal momento che $b$ non si annulla in $J$), e si può poi definire la funzione integrale $F$.
Tornando al tuo esempio, supponiamo per fissare le idee $y_0 > 0$ (nel tuo esempio $y_0$ è indicato con $a$, ma preferisco usare $y_0$ per mantenere le notazioni).
Dal momento che $b(y)$ si annulla per $y=0$, l'intervallo $J$ sarà quindi $(0,+\infty)$.
A questo punto puoi definire le funzioni
$F(y) = \int_{y_0}^y \frac{2}{s^3} ds$, $y\in J = (0,+\infty)$,
$G(x) = \int_0^x t(t-1)^2$, $x\in I = \mathbb{R}$,
e ragionare come nel primo esempio visto.
ok, grazie mille
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