Problemi sulla derivabilità a più varibili

[andra_zx]

Ciao a tutti, ho un dubbio sulla derivabilità delle funzioni a più variabili; il libro propone ari esercizi, ma tutti con i seguente schema:

$f(x,y) = {(xysen1/(xy),if xy!=0),(0,if xy=0):}$

Cieè una funzione che si annulla in zero. Poi controlla la conitnuità, ma lo fa sempre controllando lungo gli assi, cioè per $y = 0$ e $x = 0$: se la funzione si annulla allora è continua in $(0.0)$.

Poi passa all' esistenza delle derivate parziali, e continua a controllare lungo gli assi. Se ad esempio lungo $y = 0$ la funzione si annulla per un valore di $x != 0$ allora anche la derivata parziale corrispondente si annulla rendendo la funione derivabile in quel punto.
In questo caso si ottiene che non è derivabile lungo l' asse perchè solo la derivata rispetto ad x si anulla, mentre quella ripetto a d y non ha limite.

Aquesto punto la mia domnda è: come mai si controlla sempre e solo cosa succede lungo gli assi, e non ad una restrizione diversa ? è solo per semplicità ?
E se nel controllo della derivabilità, la funzione assumesse un valore finito diverso da zero, la sua derivata sarebbe comunque zero, quindi andrebbe bene lo stesso ?

Spero di essere stato chiaro,, grazie a tutti..

[robbstark1]

Ciao. Per quanto riguarda la continuità non è sufficiente studiare le restrizioni agli assi. Non è nemmeno sufficiente studiare infinite restrizioni! Ci sono degli esempi di funzioni che mostrano questo aspetto, anche semplici funzioni razionali (non per forza "cose strane").
Per quanto riguarda la derivabilità, esistono le derivate direzionali. Di una funzione si può dire che è derivabile lungo una certa direzione, ad esempio $x$ o $y$. Quando calcoli le derivate parziali stai dicendo che la funzione è derivabile rispetto ad $x$ e rispetto ad $y$, nulla di più. (Alcune derivate direzionali possono esistere, altre no).

[andra_zx]

"robbstark":Ciao. Per quanto riguarda la continuità non è sufficiente studiare le restrizioni agli assi. Non è nemmeno sufficiente studiare infinite restrizioni! Ci sono degli esempi di funzioni che mostrano questo aspetto, anche semplici funzioni razionali (non per forza "cose strane").
Per quanto riguarda la derivabilità, esistono le derivate direzionali. Di una funzione si può dire che è derivabile lungo una certa direzione, ad esempio $x$ o $y$. Quando calcoli le derivate parziali stai dicendo che la funzione è derivabile rispetto ad $x$ e rispetto ad $y$, nulla di più. (Alcune derivate direzionali possono esistere, altre no).

Si giusto, grazie, avevo fatto confusione. Quindi si può concludere che l' esistenza o meno delle derivate perziali, ed il loro valore in un dato punto, serve solo a scrivere il grandiente ? In modo da poterlo usare nel limite per trovare se una funzione è differenziabile o no.. parlo di: $lim_(x -> x_0) (f(x) - f(x_0) - )/(||x - x_0||)$