Problemi su un controesempio
non si può sostituire una funzione con una sua equivalente (equivalente nel senso "sin(x) è equivalente a x quando x tende a 0") dentro l'argomento di una funzione.
un controesempio lo si ha vedendo che $frac(\exp((x+1)^2))(\exp(x^2)) rightarrow \infty$ quando x tende ad infinito.
non riesco però a trovare un controesempio per cui f(sin(x)) non sia equivalente ad f(x) per x quando x tende a zero.
suggerimenti?
un controesempio lo si ha vedendo che $frac(\exp((x+1)^2))(\exp(x^2)) rightarrow \infty$ quando x tende ad infinito.
non riesco però a trovare un controesempio per cui f(sin(x)) non sia equivalente ad f(x) per x quando x tende a zero.
suggerimenti?
Risposte
1- sostituisci z=1/x nel tuo esempio di prima
2- trova f(g(x)) di modo che
- lo sviluppo di taylor di f(g(x)) inizi quadratico. La teoria dice che per avere l'ordine quadratico di f(g(x)) devi sostituire l'ordine quadratico di g nello sviluppo quadratico di f... se non lo fai e prendi l'ordine lineare di g e lo metti nello sviluppo quadratico di f succedono cose strane perchè ti perdi dei pezzi per strada (in sostanza ti perdi i pezzi quadratici di g che andresti a mettere dentro l'ordine lineare di f)... prova (scegli te le funzioni... alla peggio ti prendi dei polinomi)
se poi vuoi proprio il contro-esempio col seno le idee sono le stesse ma devi tenere conto che il seno non possiede termine quadratico e quindi all'ordine quadratico puoi sostituire sen(x) con x... devi fare in modo che f parta cubica!
2- trova f(g(x)) di modo che
- lo sviluppo di taylor di f(g(x)) inizi quadratico. La teoria dice che per avere l'ordine quadratico di f(g(x)) devi sostituire l'ordine quadratico di g nello sviluppo quadratico di f... se non lo fai e prendi l'ordine lineare di g e lo metti nello sviluppo quadratico di f succedono cose strane perchè ti perdi dei pezzi per strada (in sostanza ti perdi i pezzi quadratici di g che andresti a mettere dentro l'ordine lineare di f)... prova (scegli te le funzioni... alla peggio ti prendi dei polinomi)
se poi vuoi proprio il contro-esempio col seno le idee sono le stesse ma devi tenere conto che il seno non possiede termine quadratico e quindi all'ordine quadratico puoi sostituire sen(x) con x... devi fare in modo che f parta cubica!
Thomas non mi è molto chiaro quello che dici.
in più cosa intendi per ordine lineare e ordine quadratico?
in più cosa intendi per ordine lineare e ordine quadratico?
"Thomas":
devi fare in modo che f parta cubica!
come ad esempio $f(x)=x^3$?
ma in quel caso verrebbe $f(sin(x))=sin^3(x)$, che è equivalente a $x^3$, no?
mmm... si scusate... forse non sono stato chiaro ma è perchè non ci ho provato a fare i conti....
cmq le idee sono queste (il resto lasciatelo perdere):
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La teoria dice che per avere l'ordine quadratico di f(g(x)) devi sostituire l'ordine quadratico di g nello sviluppo quadratico di f... se non lo fai e prendi l'ordine lineare di g e lo metti nello sviluppo quadratico di f succedono cose strane e non ottieni uno sviluppo corretto
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per 'ordine quadratico' intendo lo sviluppo di taylor fino al secondo ordine...
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La cosa che invece è vera è che se sostituisci il primo ordine non banale della g nel primo ordine non banale della f si ottiene il primo ordine non banale di f°g....
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cerca di mettere assieme queste due informazioni.... io ora non ho tempo per farlo
cmq le idee sono queste (il resto lasciatelo perdere):
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La teoria dice che per avere l'ordine quadratico di f(g(x)) devi sostituire l'ordine quadratico di g nello sviluppo quadratico di f... se non lo fai e prendi l'ordine lineare di g e lo metti nello sviluppo quadratico di f succedono cose strane e non ottieni uno sviluppo corretto
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per 'ordine quadratico' intendo lo sviluppo di taylor fino al secondo ordine...
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La cosa che invece è vera è che se sostituisci il primo ordine non banale della g nel primo ordine non banale della f si ottiene il primo ordine non banale di f°g....
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cerca di mettere assieme queste due informazioni.... io ora non ho tempo per farlo
se poni
$f=x+x^3$
e studi la funzione $g(x)=(f(sen(x))-x)/x^3$
- se sostituisci sen(x) con x il limite in 0 ti viene 1
- se fai il limite corretto dovrebbe venire $5/6$
spero ti vada bene come esempio... altrimenti devi essere più specifico... per esempio già il tuo esempio prima con x->1/x a me sembra che andasse bene, anche se aveva il difetto di usare funzioni non analitiche... tieni conto comunque di quel che dicevo ovvero che se parli di roba analitica sostituire la x al sen(x) in una funzione composta non ti porta ad errori nell'ordine dominante ma solo nei successivi (quindi non potrai mai trovare una f t.c. f(sen(x)) non sia equivalente a f(x) per x che tende a zero!)... questo è il motivo per cui nella g sopra ho sottratto l'ordine dominante ovvero la x....
$f=x+x^3$
e studi la funzione $g(x)=(f(sen(x))-x)/x^3$
- se sostituisci sen(x) con x il limite in 0 ti viene 1
- se fai il limite corretto dovrebbe venire $5/6$
spero ti vada bene come esempio... altrimenti devi essere più specifico... per esempio già il tuo esempio prima con x->1/x a me sembra che andasse bene, anche se aveva il difetto di usare funzioni non analitiche... tieni conto comunque di quel che dicevo ovvero che se parli di roba analitica sostituire la x al sen(x) in una funzione composta non ti porta ad errori nell'ordine dominante ma solo nei successivi (quindi non potrai mai trovare una f t.c. f(sen(x)) non sia equivalente a f(x) per x che tende a zero!)... questo è il motivo per cui nella g sopra ho sottratto l'ordine dominante ovvero la x....
Per tirare le somme e fare chiarezza, qual'è la regola da seguire per essere sicuri che la sostituzione sia possibile?
in più se si volesse fare un esempio (come il tuo precedente), ma non con $sen(x) ~= x$, ma utilizzando $1-cos(x) ~= x^2/2$ come si può fare?
in più se si volesse fare un esempio (come il tuo precedente), ma non con $sen(x) ~= x$, ma utilizzando $1-cos(x) ~= x^2/2$ come si può fare?
"tinam73":
Per tirare le somme e fare chiarezza, qual'è la regola da seguire per essere sicuri che la sostituzione sia possibile?
in più se si volesse fare un esempio (come il tuo precedente), ma non con $sen(x) ~= x$, ma utilizzando $1-cos(x) ~= x^2/2$ come si può fare?
prima di dare pericolose 'regole generali' (fare gli sviluppi bene è quasi un'arte, specie in fisica io sinceramente non mi ritengo granchè in questo) vorrei sapere se a Nebula il controesempio va bene.... magari non era quel che cercava... o magari si... il testo dell'esercizio non era chiaro a mio parere...
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