Problemi su due limiti
Ho un problema legato a due limiti. Il primo è:
$lim_{n->+oo} (2^n)/(e^(2n))$
E' una forma indeterminata $(+oo)/(+oo)$, che sinceramente trovo difficoltà a scomporre.
Ho provato con De L'Hopital ma la situazione non si risolve affatto. E non trovo limiti notevoli accettabili. Taylor non posso usarlo perchè si parla di infiniti e non infinitesimi. Come lo risolvo?
L'altro è:
$lim_{n->+oo} (sen(n) + n)/(n^2)$
Qui c'è il discorso legato al seno, perchè so che a $+oo$ non ammette limite ( come anche il coseno ), quindi è oscillante? E lo considero? Se non lo considero, applico subito De L'Hopital e l'ho risolto
$lim_{n->+oo} (2^n)/(e^(2n))$
E' una forma indeterminata $(+oo)/(+oo)$, che sinceramente trovo difficoltà a scomporre.
Ho provato con De L'Hopital ma la situazione non si risolve affatto. E non trovo limiti notevoli accettabili. Taylor non posso usarlo perchè si parla di infiniti e non infinitesimi. Come lo risolvo?
L'altro è:
$lim_{n->+oo} (sen(n) + n)/(n^2)$
Qui c'è il discorso legato al seno, perchè so che a $+oo$ non ammette limite ( come anche il coseno ), quindi è oscillante? E lo considero? Se non lo considero, applico subito De L'Hopital e l'ho risolto
Risposte
a parte il fatto che De L'Hopital per le successioni non è previsto ... in ogni caso il primo lo puoi risolvere applicando il criterio del rapporto per successioni se non riesci a vedere in che altro modo scriverlo.... Il secondo spezzalo in due e ti salta all'occhio subito cosa viene
La successione è una funzione, perchè De L'Hopital non posso applicarlo?
Noise non so cosa sia quel criterio, non c'è nemmeno nel programma della mia prof. Non c'è altro modo di calcolarlo ?
Il secondo l'ho reso:
$lim_{n->+oo} (sen(n))/n^2 * 1/n = 0 * 0 = 0$
Noise non so cosa sia quel criterio, non c'è nemmeno nel programma della mia prof. Non c'è altro modo di calcolarlo ?
Il secondo l'ho reso:
$lim_{n->+oo} (sen(n))/n^2 * 1/n = 0 * 0 = 0$
certo, osservando bene come puoi manipolare quel rapporto;
si le successioni sono funzioni definite sui naturali
\[a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\]
le funzioni
\[f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\]
e il teorema di di De L'Hopital parla di funzioni definite su un compatto continue e derivabili in $(a,b)$
\[f:[a,b]\to\mathbb{R}\]
e le successioni con la derivabilità non vanno d'accordo ...
si le successioni sono funzioni definite sui naturali
\[a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\]
le funzioni
\[f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\]
e il teorema di di De L'Hopital parla di funzioni definite su un compatto continue e derivabili in $(a,b)$
\[f:[a,b]\to\mathbb{R}\]
e le successioni con la derivabilità non vanno d'accordo ...
si be... in realtà spero tu abbia fatto un errore di battitura... perche
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n+n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n }{n^2}+\frac{1}{n }=0+0=0
\end{align}
ma se ti capita un esercizio cosi, penso che si a da giustificare il perchè il primo limite va a zero...
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n+n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n }{n^2}+\frac{1}{n }=0+0=0
\end{align}
ma se ti capita un esercizio cosi, penso che si a da giustificare il perchè il primo limite va a zero...
Ovviamente era un $+$, non un $*$.
Ah, quindi De L'Hopital non lo tocco proprio con le successioni. Bene...
A tal proposito, esistono dei criteri per il calcolo di limiti delle successioni? Avresti un buon link per caso?
Ah, quindi De L'Hopital non lo tocco proprio con le successioni. Bene...
A tal proposito, esistono dei criteri per il calcolo di limiti delle successioni? Avresti un buon link per caso?
Beh in effetti si può riscrivere come:
$lim_(n->+oo) (2/e)^n*1/e^n$
Che non è più una forma indeterminata
Per le successioni definitivamente a termini positivi esistono il criterio del rapporto ( molto utile con i fattoriali) ed il criterio della radice
$lim_(n->+oo) (2/e)^n*1/e^n$
Che non è più una forma indeterminata
Per le successioni definitivamente a termini positivi esistono il criterio del rapporto ( molto utile con i fattoriali) ed il criterio della radice
Criterio del rapporto e della radice hanno applicazione simile ai criteri che si usano con le serie?
Per le successioni vale un teorema che è l'analogo del teorema di De l'Hopital: il teorema di Stolz-Cesàro, il cui enunciato è il seguente:
Date due successioni $a_n$ e $b_{n}$con $b_n$ una successione illimitata, positiva e strettamente crescente, supponiamo che
$$\lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=L$$
allora risulta che
$$\lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=L$$
Il problema con De l'Hopital non riguarda tanto il fatto che una successione è definita su $\mathbb{N},$ essendo $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}.$ Il problema è che De l'Hopital richiede la derivabilità delle funzioni cui si applica.
Date due successioni $a_n$ e $b_{n}$con $b_n$ una successione illimitata, positiva e strettamente crescente, supponiamo che
$$\lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=L$$
allora risulta che
$$\lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=L$$
Il problema con De l'Hopital non riguarda tanto il fatto che una successione è definita su $\mathbb{N},$ essendo $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}.$ Il problema è che De l'Hopital richiede la derivabilità delle funzioni cui si applica.
Oddio ti dico la verità, il criterio della radice non l'ho mai usato, mentre per quello del rapporto, per una successione $a_n$ definitivamente a termini positivi si considera:
$lim_(n->+oo) a_(n+1)/a_n=l$
Se $l>1$ allora il limite fa $+oo$
Se $l<1$ allora il limite fa $0$
Se $l=1$ niente può dirsi
$lim_(n->+oo) a_(n+1)/a_n=l$
Se $l>1$ allora il limite fa $+oo$
Se $l<1$ allora il limite fa $0$
Se $l=1$ niente può dirsi
Purtroppo non credo possa usarlo. La professoressa dubito voglia l'utilizzo di teoremi che lei non ha spiegato.
Mi sa che l'unico modo che ho per calcolare determinate successioni è scomporre e cercare di creare una forma determinata.
Mi sa che l'unico modo che ho per calcolare determinate successioni è scomporre e cercare di creare una forma determinata.
"Mr.Mazzarr":
Purtroppo non credo possa usarlo. La professoressa dubito voglia l'utilizzo di teoremi che lei non ha spiegato.
a meno che tu non sia in grado di giustificarle il perchè li hai usati
Ah in tal caso ok. E' il mio primo esame universitario, non so assolutamente come funziona lo scritto e l'orale. Perciò la mia insicurezza.
Comunque quei due limiti che ho postato bastava scomporli per calcolarli, quindi credo che, a prescindere, la professoressa preferisca questa via più semplice.
Comunque quei due limiti che ho postato bastava scomporli per calcolarli, quindi credo che, a prescindere, la professoressa preferisca questa via più semplice.
"Mr.Mazzarr":
Ho un problema legato a due limiti. Il primo è:
$lim_{n->+oo} (2^n)/(e^(2n))$
E' una forma indeterminata $(+oo)/(+oo)$, che sinceramente trovo difficoltà a scomporre.
Ho provato con De L'Hopital ma la situazione non si risolve affatto. E non trovo limiti notevoli accettabili. Taylor non posso usarlo perchè si parla di infiniti e non infinitesimi. Come lo risolvo?
Hai che \(\displaystyle \frac{2^n}{e^{2n}} = \left(\frac{2}{e^{2}}\right)^n \). Siccome \(\displaystyle \frac{2}{e^{2}}\) è una costante non dovresti aver problemi a calcolare questo limite.
EDIT: non avevo notato che avevano già risposto. Va beh, comunque questa scomposizione è diversa rispetto all'altra.
Una costante elevata a $+oo$ non fa sempre $+oo$, giusto?
e se la costante (positiva) fosse minore di 1?
Farebbe $0$, come il caso di $2/e$.
Altro limite particolare, con cui non saprei muovermi:
$lim_{x->pmoo} 2x - tgx$
Anche se trasformassi la tangente nel rapporto tra seno e coseno per renderla fratta per un eventuale De L'Hopital, mi troverei con derivate di seno e coseno, che mi danno sempre gli stessi valori ovviamente. Wolfram Alpha non lo risolve questo limite, lo risolve solo a $0$ e a $pm pi/2$. Solo che a me serve a $pm oo$, dato che devo controllare l'esistenza di eventuali massimi e minimi assoluti della stessa funzione.
Altro limite particolare, con cui non saprei muovermi:
$lim_{x->pmoo} 2x - tgx$
Anche se trasformassi la tangente nel rapporto tra seno e coseno per renderla fratta per un eventuale De L'Hopital, mi troverei con derivate di seno e coseno, che mi danno sempre gli stessi valori ovviamente. Wolfram Alpha non lo risolve questo limite, lo risolve solo a $0$ e a $pm pi/2$. Solo che a me serve a $pm oo$, dato che devo controllare l'esistenza di eventuali massimi e minimi assoluti della stessa funzione.
Sei sicuro che quel limite esista?
"Mr.Mazzarr":
Solo che a me serve a $pm oo$, dato che devo controllare l'esistenza di eventuali massimi e minimi assoluti della stessa funzione.
Non capisco questa tua idea: come ti ho già detto in un altro topic una funzione può anche assumere valori grandi, grandissimi... anche in zone diverse dagli estremi $+oo$ e $-oo$, pensa a $f(x)=1/x$: non è limitata perchè se ci avviciniamo all'origine da destra otteniamo valori grandi, grandissimi, sempre più grandi, mentre se ci avviciniamo da sinistra otteniamo valori negativi che in valore assoluto sono altrettanto grandi, grandissimi, sempre più grandi; d'altro canto se facciamo i limiti a $+-oo$ ecco che otteniamo valori finiti.
Gio ma fare il limite agli estremi ( se aperti ) del Dominio non è il metodo per vedere se esistono o meno i max e min assoluti? L'ho letta sia sopra al libro che ho che l'hanno detto nel topic apposito questa cosa.
Comunque @vict85: non sono sicuro che esista, ma in tal caso non so come comportarmi!
Comunque @vict85: non sono sicuro che esista, ma in tal caso non so come comportarmi!
"Mr.Mazzarr":
Gio ma fare il limite agli estremi ( se aperti ) del Dominio non è il metodo per vedere se esistono o meno i max e min assoluti?
Quali sono gli estremi della funzione, ad esempio
$f(x)=ln(x-2) + 1/(x-5)$
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