Problemi su due limiti
Ho un problema legato a due limiti. Il primo è:
$lim_{n->+oo} (2^n)/(e^(2n))$
E' una forma indeterminata $(+oo)/(+oo)$, che sinceramente trovo difficoltà a scomporre.
Ho provato con De L'Hopital ma la situazione non si risolve affatto. E non trovo limiti notevoli accettabili. Taylor non posso usarlo perchè si parla di infiniti e non infinitesimi. Come lo risolvo?
L'altro è:
$lim_{n->+oo} (sen(n) + n)/(n^2)$
Qui c'è il discorso legato al seno, perchè so che a $+oo$ non ammette limite ( come anche il coseno ), quindi è oscillante? E lo considero? Se non lo considero, applico subito De L'Hopital e l'ho risolto
$lim_{n->+oo} (2^n)/(e^(2n))$
E' una forma indeterminata $(+oo)/(+oo)$, che sinceramente trovo difficoltà a scomporre.
Ho provato con De L'Hopital ma la situazione non si risolve affatto. E non trovo limiti notevoli accettabili. Taylor non posso usarlo perchè si parla di infiniti e non infinitesimi. Come lo risolvo?
L'altro è:
$lim_{n->+oo} (sen(n) + n)/(n^2)$
Qui c'è il discorso legato al seno, perchè so che a $+oo$ non ammette limite ( come anche il coseno ), quindi è oscillante? E lo considero? Se non lo considero, applico subito De L'Hopital e l'ho risolto
Risposte
@Mr Mazzarr
In bocca al lupo!
@gio73
viewtopic.php?p=722364#p722364
Ci ho provato anche io per via grafica.
See you next week
In bocca al lupo!
@gio73
viewtopic.php?p=722364#p722364
Ci ho provato anche io per via grafica.
See you next week
"gio73":
[quote="Mr.Mazzarr"]Gio ma fare il limite agli estremi ( se aperti ) del Dominio non è il metodo per vedere se esistono o meno i max e min assoluti?
Quali sono gli estremi della funzione, ad esempio
$f(x)=ln(x-2) + 1/(x-5)$[/quote]
Il dominio della funzione che mi hai dato è: $x in ] 2, 5 [ uu ] 5, +oo [$
Se dovessi controllare l'esistenza dei max e min assoluti, farei :
$lim_{x->2^+} f(x)$
$lim_{x->+oo} f(x)$
E $5^+$ e $5^-$ non li consideriamo?
"gio73":
E $5^+$ e $5^-$ non li consideriamo?
E sì, direi che contano
"gio73":
E $5^+$ e $5^-$ non li consideriamo?
Quindi devo studiare anche il limite nei punti d'annullamento della funzione? O meglio, anche nei punti estremi di ogni singolo intervallo se la funzione esiste su più intervalli uniti?
"Mr.Mazzarr":
[quote="gio73"]E $5^+$ e $5^-$ non li consideriamo?
Quindi devo studiare anche il limite nei punti d'annullamento della funzione? O meglio, anche nei punti estremi di ogni singolo intervallo se la funzione esiste su più intervalli uniti?[/quote]
Finally!
Direi che per quanto riguarda lo studio del risultato non cambia rispetto al resto, no?
Ovvero i risultati '' notevoli '' per ciò che mi serve sono sempre $pm oo$.
Ovvero i risultati '' notevoli '' per ciò che mi serve sono sempre $pm oo$.
Per l inestistenza dei max e dei min assoluti i quattro limiti devono divergere tutti contemporaneamente? Se a $+oo$ divrrge ma non a $5^+$, cosa posso dedurre?
"Mr.Mazzarr":
Ovvero i risultati '' notevoli '' per ciò che mi serve sono sempre $pm oo$.
NO, ASSOLUTAMENTE FALSO, dimenstica questo concetto perché è sbagliato, nella maniera più assoluta.
Ogni punto di discontinuità ha la stessa importanza di ogni altro. Per esempio nella funzione \(\displaystyle y = \frac{1}{\lvert x \rvert}\) il limite per \(\pm \infty\) non dice nulla sui massimi e i minimi (anche se racconta altre cose).
In generale comunque il concetto di massimo è qualcosa che ha a che fare con il codomonio.
Il concetto di massimo è "quasi lo stesso" sia per una funzione \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) che per una funzione \(f\colon S^1 \to \mathbb{R}\) dove \(S^1\) è la circonferenza. E non differisce più di tanto dal caso di una funzione \(f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{R}\). Un massimo locale è un punto \(m \in D\), dove \(D\) è il dominio, tale che per un intervallo/arco sufficiementemente piccolo ogni elemento di quell'intervallo/arco ha immagine più piccola o uguale a \(f(m)\). Una massimo globale è lo stesso ma per tutto \(D\). Tieni conto che il concetto di massimo locale, rispetto a quello di massimo globale, necessità di un certo concetto di località all'interno del dominio (e che cambiare questo aspetto può mutare considerevolmente il tutto).
Lasciando da parte per un momento la topologia del dominio (che per ora puoi intendere come la sua divisione in intervalli), quello che volevo che notassi è che il concetto di massimo risiede nel fatto che \(\mathbb{R}\) come codominio è un insieme ordinato (\(\mathbb{R}\) ha, a rigore, la struttura di insieme denso, illimitato e totalmente ordinato). In quanto tale un qualsiasi suo sottoinsieme limitato possiede, per lo meno, dei maggiorarti. Quello che tu stai studiando quando studi i massimi di una funzione è la ricerca dei massimi all'interno dell'immagine di tutto \(\mathbb{R}\) o di suoi intervalli.
Per ora non ho parlato di continuità, eppure la continuità ha una importanza fondamentale per lo studio dei massimi delle funzioni reali a valori reali (e non solo). Quello che però è fondamentale è il Teorema di Weierstrass (e le sue varianti più generali) che afferma che l'immagine continua di un intervallo chiuso possiede massimi e minimi (eventualmente sul bordo). Questo significa sostanzialmente che la nostra analisi si, quasi, banalizza all'interno di ogni intervallo chiuso su cui la funzione è continua. Il problema dunque è che:
1) nessun intervallo chiuso contiene l'infinito (anche perché l'infinito non è un numero reale)
2) nessun intervallo chiuso contenuto in un intervallo aperto lo può racchiudere tutto.
Vediamo di analizzare un po' il problema. Sia \(b\) un punto di discontinuità a sinistra* (oppure \(+\infty\)). Supponiamo io possa trovare un \(a\) tale che \(f\) è continua su tutto \([a, b)\). Questo insieme è aperto a destra e quindi io non posso usare Weierstrass. D'altra parte posso "approssimare" \([a, b)\) con una successione di intervalli chiusi \([a, b_1]\subset \dotsb \subset[a, b_n] \subset \dotsb [a, b)\). Per ogn'uno dei \([a, b_i]\), Weierstrass mi assicura l'esistenza di un qualche punto di massimo \(x_i\). D'altra parte se io guardo la successione (crescente) \(\bigl\{f(x_i)\bigr\}_{i\in \mathbb{N}}\) nessuno mi assicura che sia limitata e anche se fosse limitata potrebbe non raggiungere mai quel valore nel dominio. Nel caso sia limitata il massimo globale potrebbe essere da qualche altra parte, mentre se è illimitata allora non possono esiste massimi globali. Questo discorso non fa differenza a seconda che \(b\) sia \(\infty\) o un numero finito.
* i due lati sono indipendenti, la mia scelta è assolutamente arbitraria.
Ok, ma in una situazione in cui la funzione esiste in due intervalli aperti come $]a, b[ uu ]b, c[$, come devo comportarmi per sapere l'esistenza dei massimi e minimi?
Io è in limiti come:
$lim_{n->+oo} 1/(n*cosn)$
che casco! Perchè c'è il coseno che a $+oo$ non ha comportamento '' normale '', non ha risultato! Solo che non so come annullarlo dato che i limiti notevoli o la formula di Taylor richiedono che tenda a $0$ e non a $+oo$.
Perchè se fosse una somma al denominatore, andrei a scomporre e considerare $1/cosn$ come oscillante e quindi non influisce nel risultato finale.
$lim_{n->+oo} 1/(n*cosn)$
che casco! Perchè c'è il coseno che a $+oo$ non ha comportamento '' normale '', non ha risultato! Solo che non so come annullarlo dato che i limiti notevoli o la formula di Taylor richiedono che tenda a $0$ e non a $+oo$.
Perchè se fosse una somma al denominatore, andrei a scomporre e considerare $1/cosn$ come oscillante e quindi non influisce nel risultato finale.
"Mr.Mazzarr":
Io è in limiti come:
$lim_{n->+oo} 1/(n*cosn)$
che casco! Perchè c'è il coseno che a $+oo$ non ha comportamento '' normale '', non ha risultato! Solo che non so come annullarlo dato che i limiti notevoli o la formula di Taylor richiedono che tenda a $0$ e non a $+oo$.
In questo caso il limite non esiste, perché il coseno cambia continuamente segno all'infinito (la formula di Taylor per limiti all'infinito non si può usare: dovresti calcolare una serie in un punto infinito!)
Si infatti l'ho detto che Taylor non si può usare!
Mentre lo stesso limite con $n+cosn$ a denominatore fa $0$, giusto? Perchè un infinito sommato ad una funzione oscillante fa infinito, no?
Mentre lo stesso limite con $n+cosn$ a denominatore fa $0$, giusto? Perchè un infinito sommato ad una funzione oscillante fa infinito, no?
Sì
Perfetto!
"Mr.Mazzarr":
Ok, ma in una situazione in cui la funzione esiste in due intervalli aperti come $]a, b[ uu ]b, c[$, come devo comportarmi per sapere l'esistenza dei massimi e minimi?
Prima ti calcoli i limiti ai 4 estremi (conto due volte $b$ perché si deve calcolare il limite sia da destra che da sinistra). Dopo di che vedi di che tipo è le discontinuità in $b$. Se eliminabile condideri tutto come un grande intervallo.
Detto questo devi trovare i massimi e minimi locali dei due intervalli. Il metodo dipende dalla funzione, dove è differenziabile usi la derivata (eventualmente anche la seconda per la concavità), se non lo è un po' più complicato. A quel punto metti tutti i valori trovati insieme.
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