Problemi risoluzione disequazione goniometrica
ho dei dubbi sulle risoluzioni per questi tipi di disequzioni so che ci sono diversi metoti, per esempio grafico oppure con le formule di prostaferesi ecc ecc.
la mia disequazione è $ sinx-cosx >=0 $ ho provato ad eseguire il metodo grafico ma non mi risulta non ho capito bene perchè. Ho proceduto nel seguente modo: ho sostituito sinx=Y e cosx=X e messo a sistema con X+Y=1. ottengo i due punti $A=(1/2,1/2)$ e $B=(1/2,-1/2)$ ma già da qua in poi non mi corrisponde con la soluzione perchè mi da una x conpresa tra $pi/4 e pi5/4$ non capito bene cosa sbaglio...qualche dritta?...
la mia disequazione è $ sinx-cosx >=0 $ ho provato ad eseguire il metodo grafico ma non mi risulta non ho capito bene perchè. Ho proceduto nel seguente modo: ho sostituito sinx=Y e cosx=X e messo a sistema con X+Y=1. ottengo i due punti $A=(1/2,1/2)$ e $B=(1/2,-1/2)$ ma già da qua in poi non mi corrisponde con la soluzione perchè mi da una x conpresa tra $pi/4 e pi5/4$ non capito bene cosa sbaglio...qualche dritta?...
Risposte
Ciao, per prima cosa ti propongo il metodo dell'angolo aggiunto che è più immediato, poi faremo anche quello grafico.$$
\sin x - \cos x \ge 0 \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x \ge 0 \rightarrow \sin x \cos 45 - \cos x \sin 45 \ge 0 \rightarrow \sin(x-45) \ge 0
$$Questa dovresti riuscire a risolverla...
\sin x - \cos x \ge 0 \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x \ge 0 \rightarrow \sin x \cos 45 - \cos x \sin 45 \ge 0 \rightarrow \sin(x-45) \ge 0
$$Questa dovresti riuscire a risolverla...
Per quanto riguarda il metodo con il sistema facciamo la sostituzione$$\begin{cases}\sin x = Y\\\cos x = X\end{cases}$$ e ricaviamo la retta $$Y-X = 0 \rightarrow Y=X$$ Questa va messa a sistema con l'equazione fondamentale$$
X^2 + Y^2 = 1
$$(in quella che avevi scritto tu mancavano i quadrati) che rappresenta la circonferenza goniometrica (centro nell'origine e raggio unitario). Quindi dobbiamo risolvere il seguente sistema:$$
\begin{cases}Y=X\\X^2+Y^2=1\end{cases}
$$Quali valori trovi adesso?
X^2 + Y^2 = 1
$$(in quella che avevi scritto tu mancavano i quadrati) che rappresenta la circonferenza goniometrica (centro nell'origine e raggio unitario). Quindi dobbiamo risolvere il seguente sistema:$$
\begin{cases}Y=X\\X^2+Y^2=1\end{cases}
$$Quali valori trovi adesso?
ottengo i punti $ A=(-sqrt(1/2),-sqrt(1/2)) $ e $ B=(sqrt(1/2),sqrt(1/2)) $
Giusto, se poi scrivi $sqrt(1/2) = sqrt(2)/2$ riconosci che si parla degli angoli di $45°$ e associati...
ook grazie hocapito il metodo grafico..ma quello riferito agli angoli essendo che ho poca dimestichezza con queste tipo di disequazioni non ho chiato come procedere alla risoluzione di $sin(x-45)>=0$
Devi chiederti quali sono gli angoli che hanno il seno positivo (risposta: quelli della semicirconferenza superiore, cioè tra $0$ e $180$) e poi porre$$
0 < x-45 < 180
$$aggiungendo ovviamente le periodicità.
0 < x-45 < 180
$$aggiungendo ovviamente le periodicità.
e sarebbero $+45*0 < x < 180+45$?
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