Problemi resto di lagrange
ho un piccolo problema nel calcolare il resto nella forma di lagrange di $log(1-sin(x))$. Ho applicato la classica formula nel resto dato dal sin ma il problema si presenta nel momento in cui devo calcolare il resto del logaritmo.
P.S. l'esercizio prevede il punto x=1.
P.S. l'esercizio prevede il punto x=1.
Risposte
chi mi aiuta a calcolare il resto?????è urgentissimo
A che ordine devi fermarti nello sviluppo?
Se non dai un'informazione fondamentale hai voglia a chiedere aiuto...
Se non dai un'informazione fondamentale hai voglia a chiedere aiuto...
mi chiede di fermarmi al quarto ordine
Ohmiodio... Sadismo.
Ad ogni modo, il resto nella forma di Lagrange, cioè [tex]$R_n (x)=\tfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\ (x-1)^{n+1}$[/tex], lo devi calcolare "a mano", ossia derivando direttamente la tua funzione fino alla derivata [tex]$n+1$[/tex]-esima (che è la derivata quinta, nel tuo caso); non credo ci siano scappatoie come per i coefficienti del polinomio.
Buona fortuna.
Ad ogni modo, il resto nella forma di Lagrange, cioè [tex]$R_n (x)=\tfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\ (x-1)^{n+1}$[/tex], lo devi calcolare "a mano", ossia derivando direttamente la tua funzione fino alla derivata [tex]$n+1$[/tex]-esima (che è la derivata quinta, nel tuo caso); non credo ci siano scappatoie come per i coefficienti del polinomio.
Buona fortuna.
non esistono delle formule generiche che mi permettono di calcolarlo direttamente senza che io derivi tutto il polinomio fino alla derivata quinta?. ad esempio se pongo il $sin(x)=-w$ ottengo lo sviluppo di MacLaurin noto di $log(1+w)$ il cui resto nella forma di lagrange noto è $(-1)^(n+2)*(1+c)^(-(n+1))*(w^(n+1))/(n+1)$
Formule del genere non ne conosco.
Comunque prova e, casomai, riferisci i risultati...
Comunque prova e, casomai, riferisci i risultati...
allora ho chiesto al prof. e mi ha risposto che la mia formula va bene. L'unica accortezza che bisogna avere è di valutare la covergenza del resto a zero con la variabile iniziale. Ossia il resto di $log(1+w)$ converge a zero soltanto se $|w|<1$. quindi tornando nella variabile iniziale si deve avere che $|-sin(x)|<0$. Grazie lo stesso del piccolo aiuto.
Contento lui...
Provo a mettere d'accordo gugo e la/il prof.(??) ... naturalmente scaricando la colpa su jekij che secondo me ha posto male la domanda (ma in realtà la colpa è del fatto fatto che la locuzione "resto di Lagrange" è un po' infelice, dato che il resto è il resto, che non è nè di Lagrange, nè di Peano nè di altri; quello che è di Lagrange è un possibile modo di valutare il resto).
Mi spiego: se si vuole scrivere la valutazione del resto secondo Lagrange $R_4(x)=f(x)-P_4(x)$ per la funzione $f(x)=\ln(1-\sin(x))$ direi che non c'è altro da fare che seguire ciò che dice gugo (per "definizione" di resto di Lagrange).
Secondo me però, jekij voleva valutare l'errore $f(x)-P_4(x)$ ( indico con $P_4$ il polinomio di Taylor di ordine $4$ di $f(x)$ ): per farlo si può appunto usare la valutazione di Lagrange su $f$, ma si potrebbe anche considerare $g(w)=\ln(1+w)$, trovando che $g(w)=w-w^2/2+w^3/3-w^4/4+R(w)$ e valutando $R$ mediante Lagrange per la funzione $g$; a questo punto si potrebbe usare lo sviluppo di $-\sin(x)$ (con opportuna valutazione secondo Lagrange) e comporre i due risultati.
Non so per la verità se questo secondo metodo (che mi pare quello proposto dal docente) sia tanto meglio del calcolo diretto su $f$ - non ho tanta voglia di fare i calcoli
,
ma forse questi sono in effetti un po' piu' semplici nel secondo modo. Comunque si tratta di un modo alternativo perfettamente lecito.
che secondo me ha posto male la domanda (ma in realtà la colpa è del fatto fatto che la locuzione "resto di Lagrange" è un po' infelice, dato che il resto è il resto, che non è nè di Lagrange, nè di Peano nè di altri; quello che è di Lagrange è un possibile modo di valutare il resto).Mi spiego: se si vuole scrivere la valutazione del resto secondo Lagrange $R_4(x)=f(x)-P_4(x)$ per la funzione $f(x)=\ln(1-\sin(x))$ direi che non c'è altro da fare che seguire ciò che dice gugo (per "definizione" di resto di Lagrange).
Secondo me però, jekij voleva valutare l'errore $f(x)-P_4(x)$ ( indico con $P_4$ il polinomio di Taylor di ordine $4$ di $f(x)$ ): per farlo si può appunto usare la valutazione di Lagrange su $f$, ma si potrebbe anche considerare $g(w)=\ln(1+w)$, trovando che $g(w)=w-w^2/2+w^3/3-w^4/4+R(w)$ e valutando $R$ mediante Lagrange per la funzione $g$; a questo punto si potrebbe usare lo sviluppo di $-\sin(x)$ (con opportuna valutazione secondo Lagrange) e comporre i due risultati.
Non so per la verità se questo secondo metodo (che mi pare quello proposto dal docente) sia tanto meglio del calcolo diretto su $f$ - non ho tanta voglia di fare i calcoli
,ma forse questi sono in effetti un po' piu' semplici nel secondo modo. Comunque si tratta di un modo alternativo perfettamente lecito.
@VG: Sempre un piacere leggerti.
Dirò che avevo capito il metodo suggerito dal docente... Tuttavia procedendo a quel modo si ottiene qualche cosa che può servire a stimare il termine complementare nella formula di Taylor, ma che certamente non è il resto nella forma di Lagrange.
Il "contento lui" era riferito a questo fatto.
Dirò che avevo capito il metodo suggerito dal docente... Tuttavia procedendo a quel modo si ottiene qualche cosa che può servire a stimare il termine complementare nella formula di Taylor, ma che certamente non è il resto nella forma di Lagrange.
Il "contento lui" era riferito a questo fatto.
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