Problemi dominio integrale triplo
devo risolvere l'integrale $intintint_D 1/sqrt(z^2x^2+z^2y^2)dxdydz$ dove $D={(x,y,z) in RR^3 : 2x<=x^2+y^2<=1,-2<=z<=-1}$ ma ho dei dubbi. integro per sezioni
$int_(-2)^(-1) 1/z ( \ int_(2x<=x^2+y^2<=1) 1/sqrt(x^2+y^2)dxdy)dz$
a questo punto applico le coordinate polari all'integrale tra parentesi ottenendo $int_(D_(rho,theta)) 1dxdy$ con $D_(rho,theta)={(rho,theta) : 2rhocostheta<=rho^2<=1}$
a questo punto non saprei continuare perché quel dominio mi crea dei problemi. chi mi da una mano?
$int_(-2)^(-1) 1/z ( \ int_(2x<=x^2+y^2<=1) 1/sqrt(x^2+y^2)dxdy)dz$
a questo punto applico le coordinate polari all'integrale tra parentesi ottenendo $int_(D_(rho,theta)) 1dxdy$ con $D_(rho,theta)={(rho,theta) : 2rhocostheta<=rho^2<=1}$
a questo punto non saprei continuare perché quel dominio mi crea dei problemi. chi mi da una mano?
Risposte
mmh prova a completare l' espressione canonica di $2x < x^2 + y^2$, in modo da avere chiara la figura. Applicare trasformazioni senza sapere bene cosa si ha davanti può causare solo che altri problemi..
"stefano_89":
mmh prova a completare l' espressione canonica di $2x < x^2 + y^2$, in modo da avere chiara la figura. Applicare trasformazioni senza sapere bene cosa si ha davanti può causare solo che altri problemi..
so molto bene a cosa si sta riferendo quest'espressione canonica.sono due circonferenze: entrambe con raggio $1$ ma diverso centro. una $(0,0)$ e l'altra $(1,0)$
allora prova a spezzare l' integrale come: $0 < x < 1/2$, $-sqrt(1-(x - 1)^2) < y < sqrt(1-(x - 1)^2)$, e poi prosegui con $1/2 < x < 1$, $-sqrt(1-x^2) < y < sqrt(1-x^2)$.
Dovrebbero semplificarsi forse i calcoli..
Dovrebbero semplificarsi forse i calcoli..
Scusa mazzy, hai il risultato di questo integrale?
"pater46":
Scusa mazzy, hai il risultato di questo integrale?
purtroppo no pater46. tu come hai risolto?
"stefano_89":
allora prova a spezzare l' integrale come: $0 < x < 1/2$, $-sqrt(1-(x - 1)^2) < y < sqrt(1-(x - 1)^2)$, e poi prosegui con $1/2 < x < 1$, $-sqrt(1-x^2) < y < sqrt(1-x^2)$.
Dovrebbero semplificarsi forse i calcoli..
ma dal disegno non mi sembra che la $x$ sia definita in quegli intervalli.
Mmmm ma se restassimo in polari, e riguardassimo a: $ 0 <= \rho cos \theta <= \rho^2 <= 1 $ non potremmo trarre qualche conclusione?
Ad esempio, $\rho$ sarà certamente limitata tra 0 e 1. Alcuni dubbi li ho però su $cos \theta$, che a questo punto direi che dovrebbe essere limitata tra $0$ e $\rho$, ovvero $\pi/2 <= \theta <= arccos \rho $. Quell'arccos mi fa pensare che tutto quello che sto dicendo siano scempiaggini, comunque non saprei che altro dire... Così saremmo nella situazione:
$int_{-2}^{-1} (dz)/z int_0^1 d\rho int_{\pi/2}^arccos\rho (\dtheta)/\rho $
Però come detto ora non sono sicuro che abbia fondamento geometrico tutto questo... Anche se l'intersezione tra due circonferenze non vedo come possa migliorare la situazione.. qualcuno ha idee + sensate delle mie? :\
Ad esempio, $\rho$ sarà certamente limitata tra 0 e 1. Alcuni dubbi li ho però su $cos \theta$, che a questo punto direi che dovrebbe essere limitata tra $0$ e $\rho$, ovvero $\pi/2 <= \theta <= arccos \rho $. Quell'arccos mi fa pensare che tutto quello che sto dicendo siano scempiaggini, comunque non saprei che altro dire... Così saremmo nella situazione:
$int_{-2}^{-1} (dz)/z int_0^1 d\rho int_{\pi/2}^arccos\rho (\dtheta)/\rho $
Però come detto ora non sono sicuro che abbia fondamento geometrico tutto questo... Anche se l'intersezione tra due circonferenze non vedo come possa migliorare la situazione.. qualcuno ha idee + sensate delle mie? :\
"pater46":
Mmmm ma se restassimo in polari, e riguardassimo a: $ 0 <= \rho cos \theta <= \rho^2 <= 1 $ non potremmo trarre qualche conclusione?
Ad esempio, $\rho$ sarà certamente limitata tra 0 e 1. Alcuni dubbi li ho però su $cos \theta$, che a questo punto direi che dovrebbe essere limitata tra $0$ e $\rho$, ovvero $\pi/2 <= \theta <= arccos \rho $. Quell'arccos mi fa pensare che tutto quello che sto dicendo siano scempiaggini, comunque non saprei che altro dire... Così saremmo nella situazione:
$int_{-2}^{-1} (dz)/z int_0^1 d\rho int_{\pi/2}^arccos\rho (\dtheta)/\rho $
Però come detto ora non sono sicuro che abbia fondamento geometrico tutto questo... Anche se l'intersezione tra due circonferenze non vedo come possa migliorare la situazione.. qualcuno ha idee + sensate delle mie? :\
ho fatto bene il disegno e viene fuori una specie di mezza luna.dal disegno si vede chiaramente che $-1<=x=<0$ mentre per $y$ le cose si complicano. tornando invece alle coordinate polari l'integrale si semplifica notevolmente ma lo stesso non possiamo dire del suo dominio che diventa $2rhocostheta<=rho^2<=1$.il tuo ragionamento pater46 non mi convince molto.c'è qualcosa che ci sta sfuggendo
Si infatti anche io mi sono reso conto che era una cosa improponibile. Tornando al discorso geometrico, ho disegnato il dominio d'integrazione, ed effettivamente viene una mezza luna.
Ho pensato di spezzare tale mezza luna in 3 parti, in modo tale che ci riportiamo in 3 domini, 2 dei quali ortogonali rispetto a x, ed uno rispetto alla y:
[asvg]axes();
circle( [0,0], 1 );
circle( [1,0], 1);
plot("3^(1/2)/2");
plot("- 3^(1/2)/2");[/asvg]
Il primo sarebbe esprimibile come:
$ \sqrt(3)/2 <= y <= 1$ $ |x| <= \sqrt(1-y^2) $
Il secondo come
$ - \sqrt(3)/2 <= y <= \sqrt(3)/2 $ $ \sqrt(1-y^2) <= x <= \ - \sqrt(1-y^2)$
E l'ultimo come
$ -1 <= y <= -\sqrt(3)/2 $ $ |x| <= \sqrt(1-y^2) $
Secondo voi potrebbe andare?
Ho pensato di spezzare tale mezza luna in 3 parti, in modo tale che ci riportiamo in 3 domini, 2 dei quali ortogonali rispetto a x, ed uno rispetto alla y:
[asvg]axes();
circle( [0,0], 1 );
circle( [1,0], 1);
plot("3^(1/2)/2");
plot("- 3^(1/2)/2");[/asvg]
Il primo sarebbe esprimibile come:
$ \sqrt(3)/2 <= y <= 1$ $ |x| <= \sqrt(1-y^2) $
Il secondo come
$ - \sqrt(3)/2 <= y <= \sqrt(3)/2 $ $ \sqrt(1-y^2) <= x <= \ - \sqrt(1-y^2)$
E l'ultimo come
$ -1 <= y <= -\sqrt(3)/2 $ $ |x| <= \sqrt(1-y^2) $
Secondo voi potrebbe andare?
scusate ma non riesco a vedere l'immagine che ha postato pater46.
comunque io terrei le coordinate polari: per quanto riguarda $theta$, basta imporre $ 0 <= 2 cos theta <= 1 $. da qui ci si ricava la limitazione per $theta$ e quindi si risolve l'integrale (spero
)
edit
mi sono scordato di aggiungere che la limitazione per $rho$ è $ 2 cos theta <= \rho <= 1 $
comunque io terrei le coordinate polari: per quanto riguarda $theta$, basta imporre $ 0 <= 2 cos theta <= 1 $. da qui ci si ricava la limitazione per $theta$ e quindi si risolve l'integrale (spero
)edit
mi sono scordato di aggiungere che la limitazione per $rho$ è $ 2 cos theta <= \rho <= 1 $
"enr87":
scusate ma non riesco a vedere l'immagine che ha postato pater46.
comunque io terrei le coordinate polari: per quanto riguarda $theta$, basta imporre $ 0 <= 2 cos theta <= 1 $. da qui ci si ricava la limitazione per $theta$ e quindi si risolve l'integrale (spero
edit
mi sono scordato di aggiungere che la limitazione per $rho$ è $ 2 cos theta <= \rho <= 1 $
mmm non mi convince quella limitazione.come mai $ 0 <= 2 cos theta <= 1 $ e non $ 0 <= 2 cos theta <= 2 $ dato che si ha che $cos theta<=1$ e moltiplicando ambo i membri per $2$ si ha $2 cos theta <= 2$
come dominio avevi $ 2x <= x^2 + y^2 <= 1 $ mi pare.
fai la sostituzione lì dentro cone le coordinate polari, fai attenzione che non ha senso prendere 2x < 0 (se $ 2cos theta < 0 $ sei sulla parte della semicirconferenza)
fai la sostituzione lì dentro cone le coordinate polari, fai attenzione che non ha senso prendere 2x < 0 (se $ 2cos theta < 0 $ sei sulla parte della semicirconferenza)
"enr87":
come dominio avevi $ 2x <= x^2 + y^2 <= 1 $ mi pare.
fai la sostituzione lì dentro cone le coordinate polari, fai attenzione che non ha senso prendere 2x < 0 (se $ 2cos theta < 0 $ sei sulla parte della semicirconferenza)
sostituendo a $ 2x <= x^2 + y^2 <= 1 $ ottengo $2rhocostheta<=rho^2<=1$. come fai ad ottenere $0<=2costheta<=1$ come limitazione? si ha $0<=2rhocostheta<=1$
$rho$ è maggiore di 0, quindi puoi semplificare e ottieni $rho >= 2 cos theta $ dalla prima disuguaglianza. poi, sempre perchè $rho > 0$, $rho^2 < 1 <=> rho < 1$.
tra poco ti aggiungo un'altra cosa perchè prima mi sono espresso un po' male (tempo di finire di vedere un film)
[edit] fammi sapere se sei riuscito, altrimenti ti posto il mio procedimento
tra poco ti aggiungo un'altra cosa perchè prima mi sono espresso un po' male (tempo di finire di vedere un film)
[edit] fammi sapere se sei riuscito, altrimenti ti posto il mio procedimento
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