Problemi di ottimizzazione vincolata: vincoli misti

[cata140793]

Ciao a tutti, sto affrontando moltissimi esercizi sui problemi di ottimizzazione. Nel caso dei vincoli misti (ovvero disuguaglianze ed uguaglianze) riscontro una serie di difficoltà nello studio dei casi e nella definizione delle condizioni. Ad esempio:

$f(x,y)= xy$
soggetta ai vincoli :
$x+y=1

x≥0

y≥0$

Dopo aver costruito la Jacobiana dei vincoli, ovvero:
1 1
1 0
0 1

Scrivo la Lagrangiana:
$L= xy - μ(x+y-1) -λ'(x) -λ''(y)$
Dopo le condizioni di primo ordine non so proprio come continuare perchè con il vincolo di uguaglianza le condizioni di Kuhn-Tucker non valgono, come posso procedere?

[Luca.Lussardi]

Ignoro il fatto che tu sia obbligato a risolvere l'esercizio coi moltiplicatori di Lagrange, ma in questo caso io lo farei "a mano": stai ottimizzando una funzione di 2 variabili reali lungo un segmento di retta, la cosa piu' facile e' sostituire nella funzione l'espressione cartesiana del segmento e ricondursi ad un problema in una variabile. Attenzione a due cose: l'intervallo dove va estremizzata la funzione di una variabile reale che si viene a creare, e il fatto che essa sara' definita su un intervallo chiuso.

[cata140793]

In verità, sono "obbligata" a risolvere il problema attraverso i moltiplicatori Lagrangiani

[Luca.Lussardi]

Allora e' relativamente semplice, basta che studi $f(x,y)-\lambda(x+y-1)$, attenzione al problema degli estremi del vincolo, quello non scompare.

[cata140793]

Si la funzione da studiare è semplice, i tre vincoli però devono essere tutti compresi all'interno della Lagrangiana ( come avevo scritto all'inizio). Il mio dubbio era a livello di risoluzione. Cerco di spiegarmi meglio:

$L=xy−μ(x+y−1)−λ'(x)−λ''(y)$
condizioni di primo ordine:
$ ((dL)/dx)=0 ,
((dL)/dy)=0 ,
x+y=1,
λ'(x)≥0 ,
λ''(y)≥0 ,
λ'≥0 ,
λ''≥0 ,
x≥0 ,
y≥0 , $

Poste le condizione di primo ordine, procedo con il calcolo delle due derivate parziali:

$((dL)/dx)= y-μ-λ' ,
((dL)/dy)=x-μ-λ'' $

Analizzo tutti i casi dei vincoli, per trovare i punti candidati al problema di ottimizzazione, ovvero:
1,2,3 disattivati
1,2,3 attivati (Dalla matrice Jacobiana noto come il rango massimo che la matrice può avere è 2, quindi i tre vincoli attivi, contemporaneamente, non potrà verificarsi)
1 attivato, 2 e 3 disattivato
e così via.
Il dubbio sorge qui: essendo μ un vincolo di uguaglianza, anche questo segue l'attivazione come nel caso delle disuguaglianze?

Spero di essere stata più chiara, grazie!

[Luca.Lussardi]

Non conosco questo procedimento, io applicherei semplicemente il teorema dei moltiplicatori andando a cercare i punti stazionari di $f(x,y)-\lambda(x+y-1)$, poi vedi quelli interni al segmento, e infine confronti coi valori che la funzione assume agli estremi del segmento.

[cata140793]

Grazie ugualmente per la disponibilità!