Problemi di formalismo limiti di successioni puntuali e uniformi
Ciao a tutti!
Mi sto preparando per l'esame di Analisi II.
Ho un problema di notazione per quanto riguarda gli esercizi sui limiti di successioni puntuali e uniformi.
Mi spiego meglio:
A lezione, alle esercitazioni, sul libro di testo di riferimento, sull'eserciziario consigliato dal professore, e sui compiti degli anni passati, gli esercizi in questione sono scritti come in questo esempio:
Studiare la convergenza Puntuale e Uniforme di:
$ f_n (x) = nxe^(-nx) $
$con$
$ 0 <= x <= 1 $
Fin qui tutto nella norma.
Il problema è che nei compiti di esame il formalismo è decisamente diverso da quello proposto a lezione:
Sia $f_n: RR -> RR$, la successione definita da
$f_n(x) = (-1)^n n^(2)\chi[3+n, 5+n](x)$
Dire se $f_n$, converge puntualmente, uniformemente.
Questa $\chi$, immagino che sia la "funzione caratteristica", che però non viene mai citata in tutto il corso di Analisi II.
Quindi non so bene come affrontare questa tipologia di esercizi con questa notazione.
Chi mi può dare una mano?
Mi sto preparando per l'esame di Analisi II.
Ho un problema di notazione per quanto riguarda gli esercizi sui limiti di successioni puntuali e uniformi.
Mi spiego meglio:
A lezione, alle esercitazioni, sul libro di testo di riferimento, sull'eserciziario consigliato dal professore, e sui compiti degli anni passati, gli esercizi in questione sono scritti come in questo esempio:
Studiare la convergenza Puntuale e Uniforme di:
$ f_n (x) = nxe^(-nx) $
$con$
$ 0 <= x <= 1 $
Fin qui tutto nella norma.
Il problema è che nei compiti di esame il formalismo è decisamente diverso da quello proposto a lezione:
Sia $f_n: RR -> RR$, la successione definita da
$f_n(x) = (-1)^n n^(2)\chi[3+n, 5+n](x)$
Dire se $f_n$, converge puntualmente, uniformemente.
Questa $\chi$, immagino che sia la "funzione caratteristica", che però non viene mai citata in tutto il corso di Analisi II.
Quindi non so bene come affrontare questa tipologia di esercizi con questa notazione.
Chi mi può dare una mano?
Risposte
Quella funzione è la funzione indicatrice di un insieme
Chiaramente posto $A_n=[3+n,5+n]$ si ha
Quindi significa che $f_n(x)={(n^2(-1)^n if x inA_n),(0 if x notin A_n):}$
$chi_(A)(x):={(1 if x inA),(0 if x notinA):}$
Chiaramente posto $A_n=[3+n,5+n]$ si ha
$chi_(A_n)(x):={(1 if 3+nleqxleq5+n),(0 if x>5+nveex<3+n):}$
Quindi significa che $f_n(x)={(n^2(-1)^n if x inA_n),(0 if x notin A_n):}$
Grazie per la risposta.
Nulla di trascendentale quindi.
Sarebbe bastata una spiegazione da 2 minuti in aula per fugare il problema di questo formalismo a tutti gli studenti del corso.
Nel caso io avessi:
$f_n(x) = chi [0,2/3](x)$
Vuol dire che:
$A_n = [0, 2/3]$
Quindi
$\chi_(A_n) := \{(1, se, 0 <= x <= 2/3),(0, se, x < 0 vv x > 2/3):}$
$f_n = \{(1, se, 0 <= x <= 2/3),(0, se, x < 0 vv x > 2/3):}$
Corretto?
Nulla di trascendentale quindi.
Sarebbe bastata una spiegazione da 2 minuti in aula per fugare il problema di questo formalismo a tutti gli studenti del corso.
Nel caso io avessi:
$f_n(x) = chi [0,2/3](x)$
Vuol dire che:
$A_n = [0, 2/3]$
Quindi
$\chi_(A_n) := \{(1, se, 0 <= x <= 2/3),(0, se, x < 0 vv x > 2/3):}$
$f_n = \{(1, se, 0 <= x <= 2/3),(0, se, x < 0 vv x > 2/3):}$
Corretto?
esattamente.
"Tea-Rex":
Sarebbe bastata una spiegazione da 2 minuti in aula per fugare il problema di questo formalismo a tutti gli studenti del corso.
In matematica è così. Si passa molto tempo a decifrare le notazioni, a cercare di capire cosa l'autore volesse dire, eccetera. Certo, gli autori potrebbero essere più chiari, a volte, è vero. Ma è anche una cosa intrinseca alla matematica a cui è meglio abituarsi (come dice Halmos, notation is a nightmare).
Anzi, saper giocare con le notazioni è una cosa importante. Proprio oggi mi è ricapitato sotto gli occhi questo stralcio di Lectures on Physics di Feynman:
We could, of course, use any notation we want; do not laugh at notations; invent them, they are powerful. In fact, mathematics is, to a large extent, invention of better notations.
"dissonance":
In matematica è così. Si passa molto tempo a decifrare le notazioni, a cercare di capire cosa l'autore volesse dire, eccetera. Certo, gli autori potrebbero essere più chiari, a volte, è vero. Ma è anche una cosa intrinseca alla matematica a cui è meglio abituarsi (come dice Halmos, notation is a nightmare).
Anzi, saper giocare con le notazioni è una cosa importante. Proprio oggi mi è ricapitato sotto gli occhi questo stralcio di Lectures on Physics di Feynman:
We could, of course, use any notation we want; do not laugh at notations; invent them, they are powerful. In fact, mathematics is, to a large extent, invention of better notations.
Quoto in toto
Parole sante!
Anche se le notazioni (e pure le terminologie) andrebbero nettamente potate IMHO, mentre altre cose "semplificate".
Per esempio il pi-greco...ho capito che storicamente hanno scelto il rapporto circonferenza raggio ma non è taboo cambiare in tau (circonferenza/raggio) e avere un "giro" che corrisponde ad una unità. No?
P.S. Feynman è uno dei miei idoli
bellissimo questo articolo!
Vi ringrazio per le gentilissime riposte! 
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