Problemi di differenziabilità
carissimi del forum, quando sono in crisi mi rivolgo sempre a voi...
mi aiutate a risolvere un inghippo di analisi 2?
sono in crisi con il rapporto tra la nozione di differenziabilità,continuità,derivate direzionali...
dunque se una funzione è continua in un punto, in questo punto ammette derivate parziali e se queste sono continue allora la funzione è di classe C1 nel punto quindi è differenziabile nel punto giusto?
perchè nel libro c'è scritto che se la funzione è differenziabile in questo punto allora è di classe C0 ?, cioè perchè vale C1 => differenziabilità ma non differenziabilità => C1.
il secondo quesito è questo, perchè se una funzione continua ammette derivate parziali in un punto e queste sono continue allora è differenziabile e se una funzione è differenziabile in un punto allora ammette tutte le derivate direzionali? le derivate parziali non sono solo un sottoinsieme delle derivate direzionali?
vi ringrazio di cuore..
mi aiutate a risolvere un inghippo di analisi 2?
sono in crisi con il rapporto tra la nozione di differenziabilità,continuità,derivate direzionali...
dunque se una funzione è continua in un punto, in questo punto ammette derivate parziali e se queste sono continue allora la funzione è di classe C1 nel punto quindi è differenziabile nel punto giusto?
perchè nel libro c'è scritto che se la funzione è differenziabile in questo punto allora è di classe C0 ?, cioè perchè vale C1 => differenziabilità ma non differenziabilità => C1.
il secondo quesito è questo, perchè se una funzione continua ammette derivate parziali in un punto e queste sono continue allora è differenziabile e se una funzione è differenziabile in un punto allora ammette tutte le derivate direzionali? le derivate parziali non sono solo un sottoinsieme delle derivate direzionali?
vi ringrazio di cuore..
Risposte
ciao.
credo che tu abbia un pò di confusione... lo schema è questo:
$f in C^1 =>f$ differenziabile$=>f$ continua.
quindi una funzione differenziabile è continua... senza che necessariamente sia $C^1$ e questo lo puoi dimostrare anche da solo applicando la definzione di differenziabilità segue immediatamente la continuità.
la condizione di essere differenziabile in un punto per una funzione coincide graficamente ad avere il piano tangente in quel punto (mi sto riferendo a funzioni in due variabili...altrimenti si avrebbero gli spazi n-dimensionali tangenti ma questo è un altro conto).
il primo è un teorema che trovi su un qualsiasi libro di funzioni in più variabili ad esempio "Analisi matematica 2" (Marcellini-Sbordone).
per il secondo intuitivamente vuol dire che la funzione è abbastanza "liscia" da poter derivare il tutte le direzioni sostanzialmente...cioè
se $f$ è differenziabile in $x in A$ aperto di $RR^n$ allora la derivata direzionale $del (f)/del(lambda)$ è la derivata rispetto a $t$ calcolata per $t=0$ per la funzione $t->f(x+tlambda)$... e in base al teorema di derivazione delle funzioni composte si ha la tesi.
ciao
credo che tu abbia un pò di confusione... lo schema è questo:
$f in C^1 =>f$ differenziabile$=>f$ continua.
quindi una funzione differenziabile è continua... senza che necessariamente sia $C^1$ e questo lo puoi dimostrare anche da solo applicando la definzione di differenziabilità segue immediatamente la continuità.
la condizione di essere differenziabile in un punto per una funzione coincide graficamente ad avere il piano tangente in quel punto (mi sto riferendo a funzioni in due variabili...altrimenti si avrebbero gli spazi n-dimensionali tangenti ma questo è un altro conto).
il secondo quesito è questo, perchè se una funzione continua ammette derivate parziali in un punto e queste sono continue allora è differenziabile e se una funzione è differenziabile in un punto allora ammette tutte le derivate direzionali? le derivate parziali non sono solo un sottoinsieme delle derivate direzionali?
vi ringrazio di cuore..
il primo è un teorema che trovi su un qualsiasi libro di funzioni in più variabili ad esempio "Analisi matematica 2" (Marcellini-Sbordone).
per il secondo intuitivamente vuol dire che la funzione è abbastanza "liscia" da poter derivare il tutte le direzioni sostanzialmente...cioè
se $f$ è differenziabile in $x in A$ aperto di $RR^n$ allora la derivata direzionale $del (f)/del(lambda)$ è la derivata rispetto a $t$ calcolata per $t=0$ per la funzione $t->f(x+tlambda)$... e in base al teorema di derivazione delle funzioni composte si ha la tesi.
ciao
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