Problemi di convergenza
La convergenza in Lp implica la convergenza uniforme? Mi serve per capire se in un teorema posso applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Grazie a chiunque mi voglia aiutare.
Risposte
No, nemmeno per una sottosuccessione.
Ad esempio [tex]$u_n(x):=x^n$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex] converge a [tex]$u(x)=0$[/tex] in [tex]$L^p$[/tex] per ogni [tex]$p\in [1,+\infty[$[/tex], ma non converge uniformemente.
Lo stesso vale in intervalli non limitati: ad esempio prendi [tex]$u_n(x)$[/tex] nulla in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] tranne che in un intervallo [tex]$I_n$[/tex], nei quali ha un grafico a triangolo d'altezza [tex]$h_n$[/tex]; se [tex]$I_n$[/tex] ed [tex]$h_h$[/tex] sono scelti bene, la successione converge a [tex]$u(x)=0$[/tex] in [tex]$L^p$[/tex], però non converge uniformemente (ad esempio [tex]$I_n=[n-2^{-n},n+2^{-n}]$[/tex] ed [tex]$h_n=n$[/tex]).
Tuttavia è facile dimostrare che, in insiemi limitati, la convergenza uniforme implica la convergenza [tex]$L^p$[/tex].
Ma ciò non vale negli insiemi non limitati: ad esempio, basta prendere [tex]$u_n(x)=\tfrac{1}{n}$[/tex] in [tex]$[0,n[$[/tex] e [tex]$=0$[/tex] in [tex]$[n,+\infty[$[/tex], in modo che [tex]$u_n(x)$[/tex] converge uniformemente a [tex]$u(x)=0$[/tex] in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], ma non converge in alcun [tex]$L^p$[/tex].
Il meglio che si può fare è dato dal teorema di Severini-Egoroff, il quale assicura che se hai una successione di funzioni [tex]$(u_n)$[/tex] q.o. convergente su un insieme [tex]$X$[/tex] di misura finita allora, comunque fissi [tex]$\varepsilon >0$[/tex], esiste un sottoinsieme [tex]$Y\subseteq X$[/tex] tale che [tex]$(u_n)$[/tex] converge uniformemente su [tex]$Y$[/tex] e [tex]$\mu (X\setminus Y)<\varepsilon$[/tex]. In altre parole, per ottenere la convergenza uniforme dalla convergenza q.o. devi scartare almeno un pezzettino dell'insieme base.
A questo punto, visto che la convergenza [tex]$L^p$[/tex] implica la convergenza q.o. di una sottosuccessione, puoi applicare il teorema di S-E alla sottosuccessione... Ma questo è il massimo che si possa fare, in generale.
Ad esempio [tex]$u_n(x):=x^n$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex] converge a [tex]$u(x)=0$[/tex] in [tex]$L^p$[/tex] per ogni [tex]$p\in [1,+\infty[$[/tex], ma non converge uniformemente.
Lo stesso vale in intervalli non limitati: ad esempio prendi [tex]$u_n(x)$[/tex] nulla in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] tranne che in un intervallo [tex]$I_n$[/tex], nei quali ha un grafico a triangolo d'altezza [tex]$h_n$[/tex]; se [tex]$I_n$[/tex] ed [tex]$h_h$[/tex] sono scelti bene, la successione converge a [tex]$u(x)=0$[/tex] in [tex]$L^p$[/tex], però non converge uniformemente (ad esempio [tex]$I_n=[n-2^{-n},n+2^{-n}]$[/tex] ed [tex]$h_n=n$[/tex]).
Tuttavia è facile dimostrare che, in insiemi limitati, la convergenza uniforme implica la convergenza [tex]$L^p$[/tex].
Ma ciò non vale negli insiemi non limitati: ad esempio, basta prendere [tex]$u_n(x)=\tfrac{1}{n}$[/tex] in [tex]$[0,n[$[/tex] e [tex]$=0$[/tex] in [tex]$[n,+\infty[$[/tex], in modo che [tex]$u_n(x)$[/tex] converge uniformemente a [tex]$u(x)=0$[/tex] in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], ma non converge in alcun [tex]$L^p$[/tex].
Il meglio che si può fare è dato dal teorema di Severini-Egoroff, il quale assicura che se hai una successione di funzioni [tex]$(u_n)$[/tex] q.o. convergente su un insieme [tex]$X$[/tex] di misura finita allora, comunque fissi [tex]$\varepsilon >0$[/tex], esiste un sottoinsieme [tex]$Y\subseteq X$[/tex] tale che [tex]$(u_n)$[/tex] converge uniformemente su [tex]$Y$[/tex] e [tex]$\mu (X\setminus Y)<\varepsilon$[/tex]. In altre parole, per ottenere la convergenza uniforme dalla convergenza q.o. devi scartare almeno un pezzettino dell'insieme base.
A questo punto, visto che la convergenza [tex]$L^p$[/tex] implica la convergenza q.o. di una sottosuccessione, puoi applicare il teorema di S-E alla sottosuccessione... Ma questo è il massimo che si possa fare, in generale.
Grazie veramente tanto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo