Problemi di Cauchy - Unicità
Ciao a tutti! Stavo ripassando la teoria delle equazioni differenziali e mi è venuto questo dubbio: quand'è che un problema di cauchy ammette soluzione unica?
Il teorema di unicità in piccolo mi dice che se la mia $f(x,y)$ è continua nel suo insieme di definizione, e se è localmente lipschitziana, allora ammette soluzione UNICA definita nell'intorno circolare di centro $x_0$.
Il teorema di unicità in grande... ecco questo non l'ho capito molto. Cioè non ho capito bene cosa cambia tra questo teorema ed il precedente.
Comunque, in generale, i problemi di cauchy ammettono infinite soluzioni, no? Nel solo caso in cui la f è lipschitziana è unica.. o sbaglio?
Il teorema di unicità in piccolo mi dice che se la mia $f(x,y)$ è continua nel suo insieme di definizione, e se è localmente lipschitziana, allora ammette soluzione UNICA definita nell'intorno circolare di centro $x_0$.
Il teorema di unicità in grande... ecco questo non l'ho capito molto. Cioè non ho capito bene cosa cambia tra questo teorema ed il precedente.
Comunque, in generale, i problemi di cauchy ammettono infinite soluzioni, no? Nel solo caso in cui la f è lipschitziana è unica.. o sbaglio?
Risposte
Facciamo un pò di ordine:
I) hai enunziato quasi bene il teorema di Cauchy, la lipschitzianità è richiesta solo nella x o seconda variabile (come la vuoi chiamare);
II) sotto le ipotesi del teorema di Cauchy, ipotizzando che il campo vettoriale sia globalmente lipschitziano nella x, si ha l'esistenza (e l'unicità) globale;
III) esistono i teoremi di estensione locale e globale a seconda dei casi;
IV) il teorema di Peano assicura l'esistenza locale della soluzione nella sola ipotesi della continuità del campo vettoriale;
V) ci sono esempi generali di equazioni differenziali scalari autonome non a campo lipschitziano ma con altre ipotesi la cui soluzione è unica.
I) hai enunziato quasi bene il teorema di Cauchy, la lipschitzianità è richiesta solo nella x o seconda variabile (come la vuoi chiamare);
II) sotto le ipotesi del teorema di Cauchy, ipotizzando che il campo vettoriale sia globalmente lipschitziano nella x, si ha l'esistenza (e l'unicità) globale;
III) esistono i teoremi di estensione locale e globale a seconda dei casi;
IV) il teorema di Peano assicura l'esistenza locale della soluzione nella sola ipotesi della continuità del campo vettoriale;
V) ci sono esempi generali di equazioni differenziali scalari autonome non a campo lipschitziano ma con altre ipotesi la cui soluzione è unica.
lipschitziano nella x significa che...
$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| <= L | y_1 - y_2 | $ o viceversa?
Quindi... lipschitzianità locale -> unicità locale
mentre lipschitzianità globale -> unicità globale?
è questa la differenza?
Potrsti spiegarmi questi teoremi di estenzione locale? Credo di essermi fatto una vaga idea di cosa vogliano dire, almeno il mio prof ha fatto l'esempio di un'insieme circolare e di una striscia, dicendo che in una striscia la soluzione del problema di cauchy non può "andare oltre l'insieme di definizione", mentre in un insieme limitato si.
E queste affermazioni qui sono mischiate con l'enunciato di unicità in grande.. ho una gran confusione, potresti provare a farmi un pò luce? Nel mio libro di Analisi II non ho trovato nulla di più comprensibile :\
$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| <= L | y_1 - y_2 | $ o viceversa?
Quindi... lipschitzianità locale -> unicità locale
mentre lipschitzianità globale -> unicità globale?
è questa la differenza?
Potrsti spiegarmi questi teoremi di estenzione locale? Credo di essermi fatto una vaga idea di cosa vogliano dire, almeno il mio prof ha fatto l'esempio di un'insieme circolare e di una striscia, dicendo che in una striscia la soluzione del problema di cauchy non può "andare oltre l'insieme di definizione", mentre in un insieme limitato si.
E queste affermazioni qui sono mischiate con l'enunciato di unicità in grande.. ho una gran confusione, potresti provare a farmi un pò luce? Nel mio libro di Analisi II non ho trovato nulla di più comprensibile :\
Quella che hai scritto è la lipschitzianità nella seconda variabile che tu hai chiamato y! Comunque hai colto una prima differenza nel teorema di Cauchy.
Sulla estendibilità locale si richiede che la soluzione permanga nell'insieme di definizione $D$ del campo vettoriale $f$ e che ai limite del suo attuale insieme di definizione $T$ la soluzione abbia limite finito; più in generale basta che esista una successione convergente a tali estremi di $T$ lungo la quale la soluzione converga in $D$ e non sul suo bordo $\partial D$. Se convergesse al bordo non sarebbe estendibile ed inoltre la soluzione non sarebbe obbligata a rimanere in nessun sottoinsieme compatto $K$; contenente il valore iniziale della soluzione, proprio di $D$ e quindi si accumulerebbe in $\partial D$!
P.S.: Se tu non avessi studiato topologia generale, ma solo la topologia naturale di [tex]\mathbb{R}^n[/tex], sappi che sarebbe giunto il momento di studiarla.
P.P.S.: Ho postate tra le dispense una sulle ODE ove ho imparato quanto in precedenza esposto; escluso il teorema di Peano -_-.
Sulla estendibilità locale si richiede che la soluzione permanga nell'insieme di definizione $D$ del campo vettoriale $f$ e che ai limite del suo attuale insieme di definizione $T$ la soluzione abbia limite finito; più in generale basta che esista una successione convergente a tali estremi di $T$ lungo la quale la soluzione converga in $D$ e non sul suo bordo $\partial D$. Se convergesse al bordo non sarebbe estendibile ed inoltre la soluzione non sarebbe obbligata a rimanere in nessun sottoinsieme compatto $K$; contenente il valore iniziale della soluzione, proprio di $D$ e quindi si accumulerebbe in $\partial D$!
P.S.: Se tu non avessi studiato topologia generale, ma solo la topologia naturale di [tex]\mathbb{R}^n[/tex], sappi che sarebbe giunto il momento di studiarla.
P.P.S.: Ho postate tra le dispense una sulle ODE ove ho imparato quanto in precedenza esposto; escluso il teorema di Peano -_-.
@j18eos: Devo ammettere che sei un utente da me tenuto sotto osservazione. L'impressione che mi sono fatto di te è di uno che di matematica ne capisce, ma quando chiamato a spiegare genera grandissima confusione. Mi permetto di intervenire con questi commenti perché sono moderatore di questa sezione e tra i miei compiti rientra il garantire che nessuno confonda le idee a nessuno.
La tua spiegazione dei teoremi di esistenza e unicità è secondo me completamente incomprensibile. Non si capisce da dove inizia e dove finisce il discorso che fai. Citi teoremi per nome, senza specificarne l'enunciato, richiami alla topologia generale (addirittura! perché non basterebbe quella naturale di $RR^n$?), non specifichi a priori di cosa stai parlando, non rispondi alle domande di pater ... insomma, un guazzabuglio, per me non si capisce nulla.
Sono stato molto duro e me ne rendo conto. Ho chiesto l'opinione anche degli altri moderatori, se riceverò pareri discordanti dal mio cancellerò questo messaggio con le mie scuse. Altrimenti ti devo invitare ad alzare drasticamente il livello di chiarezza per non confondere gli altri utenti.
Grazie.
La tua spiegazione dei teoremi di esistenza e unicità è secondo me completamente incomprensibile. Non si capisce da dove inizia e dove finisce il discorso che fai. Citi teoremi per nome, senza specificarne l'enunciato, richiami alla topologia generale (addirittura! perché non basterebbe quella naturale di $RR^n$?), non specifichi a priori di cosa stai parlando, non rispondi alle domande di pater ... insomma, un guazzabuglio, per me non si capisce nulla.
Sono stato molto duro e me ne rendo conto. Ho chiesto l'opinione anche degli altri moderatori, se riceverò pareri discordanti dal mio cancellerò questo messaggio con le mie scuse. Altrimenti ti devo invitare ad alzare drasticamente il livello di chiarezza per non confondere gli altri utenti.
Grazie.
Hai solo fatto il tuo dovere dissonance, modificherò il post in meglio. ...[Testo cancellato dall'autore in quanto non pertinente all'argomento del post!]
"j18eos":
Quella che hai scritto è la lipschitzianità nella seconda variabile che tu hai chiamato y! Comunque hai colto una prima differenza nel teorema di Cauchy.
Sulla estendibilità locale si richiede che la soluzione permanga nell'insieme di definizione $D$ del campo vettoriale $f$ e che ai limite del suo attuale insieme di definizione $T$ la soluzione abbia limite finito; più in generale basta che esista una successione convergente a tali estremi di $T$ lungo la quale la soluzione converga in $D$ e non sul suo bordo $\partial D$. Se convergesse al bordo non sarebbe estendibile ed inoltre la soluzione non sarebbe obbligata a rimanere in nessun sottoinsieme compatto $K$; contenente il valore iniziale della soluzione, proprio di $D$ e quindi si accumulerebbe in $\partial D$!
P.S.: Se tu non avessi studiato topologia generale, ma solo la topologia naturale di [tex]\mathbb{R}^n[/tex], sappi che sarebbe giunto il momento di studiarla.
P.P.S.: Ho postate tra le dispense una sulle ODE ove ho imparato quanto in precedenza esposto; escluso il teorema di Peano -_-.
Ok, qui ci sono cose che non avevo mai sentito
Una cosa: Ma D e T non sono la stessa cosa? Perchè tu dici:"nell'insieme di definizione $D$ del campo vettoriale $f$ e che ai limite del suo attuale insieme di definizione $T$"
Che differenza c'è?
E poi... potresti spiegarmi meglio perchè in una striscia questo problema non si pone? E poi le cose sono correlate? Striscia unicità globale / intorno di $x_0$ unicità locale ?
Perchè poi si parla di soluzione massimale, definita come la soluzione del problema di cauchy che non si può prolungare. Che significa?
Facendo un pò mente locale e rileggendo i tuoi posto per bene ho capito quanto segue, correggimi se sbaglio.
In generale la soluzione del problema di cauchy HA SENSO ( ovvero è definita ) SOLO in un intorno ben preciso del punto $x_0$, indicando con $"("x_0, y_0")"$ il punto per cui deve passare il grafico dell'equazione differenziale. Già però qui mi viene un dubbio: che significa che la soluzione dopo un certo $\delta$ non è più definita?
A quanto ho capito il problema di cauchy si pone per limitare le infinite soluzioni di una equazione differenziale, a solo alcune tali che la funzione $y$ in un certo punto $x_0$ è definita ed ha un certo valore $y_0$. Ma comunque queste soluzioni non dovrebbero essere sempre definite?
Forse ci sono: è tipo il caso ( dico una ca***ta ) in cui ci troviamo una $y = arcsin x$, ed appunto per questo non è più definita per $x>1 \cup x<-1$ ?
PS: Scusate ma mi sto rendendo conto che sto chiedendo cose un pò troppo generali, la verità è che della teoria delle equazioni differenziali ci ho capito davvero poco, sarò io ottuso o il prof che spiega troppo male, comunque questa è la mia situazione. Forse è meglio che provi a studiarle bene dal libro e poi casomai riposto
Wow gugo molto utili! Mi ha chiarito molte cose, in particolare mi sono soffermato sulle unicità in piccolo ed in grande, sulle quali avevo maggiori dubbi.
Ho notato una differenza per quanto riguarda il teorema di unicità in grande, che non coincide con quello che ho nei miei appunti ( e che spero di aver copiato bene! ). Nelle suddette dispense ho:
Nei miei appunti però non appare questa condizione di "f di crescita al più lineare", bensì presenta una condizione molto simile a quella di lipschitzianità. Vi enuncio per intero ciò che ho nei miei appunti:
Come vedete è praticamente identica alla condizione di locale lipschitzianità del teorema di unicità in piccolo. E non vi è alcuna condizione sulla crescita di f...
L'unica altra differenza sostanziale è che qui si fa riferimento ad una striscia ( come dicevo prima ) mentre prima si parlava semplicemente di rettangoli contenenti il dato iniziale.
Spero che voi capiate qualcosa più di me da questi appunti... Dato che la definizione che mi da il professore io la vedo molto diversa da quella trovata dalle dispense di gugo!
Ho notato una differenza per quanto riguarda il teorema di unicità in grande, che non coincide con quello che ho nei miei appunti ( e che spero di aver copiato bene! ). Nelle suddette dispense ho:
Teorema 3.2.2 (Teorema di estensione globale) Supponiamo che f sia defi nita in $\text{(a,b)}xRR^n$, e che sia continua, localmente Lipschitziana ed abbia crescita al più lineare ( ovvero valga $|f(t, x)| <= A(t) + B(t)|x|$ dove $A(t) >= 0$, $B(t) >= 0$ sono due funzioni continue. In queste ipotesi esiste una unica soluzione di (3.1) de finita su tutto $"("a , b" )"$.
Nei miei appunti però non appare questa condizione di "f di crescita al più lineare", bensì presenta una condizione molto simile a quella di lipschitzianità. Vi enuncio per intero ciò che ho nei miei appunti:
$y' = f(x, y)$, $S = (a,b)xRR$, $f \in C^0( S )$, $x_0 \in "("a,b")"$.
Se vale:
[tex]\forall [\alpha, \beta] \subseteq (a,b) \exists L_{[\alpha,\beta]}>0[/tex] tale che [tex]|f(x, y_1) - f(x, y_2)| <= L_{[\alpha,\beta]}|y_1 - y_2| \forall x \in [\alpha,\beta], \forall y_1, y_2 \in R[/tex]
allora il problema di cauchy ha una sola soluzione IN GRANDE, ovvero la cui soluzione massimale è definita in tutto $"("a,b")"$.
Come vedete è praticamente identica alla condizione di locale lipschitzianità del teorema di unicità in piccolo. E non vi è alcuna condizione sulla crescita di f...
L'unica altra differenza sostanziale è che qui si fa riferimento ad una striscia ( come dicevo prima ) mentre prima si parlava semplicemente di rettangoli contenenti il dato iniziale.
Spero che voi capiate qualcosa più di me da questi appunti... Dato che la definizione che mi da il professore io la vedo molto diversa da quella trovata dalle dispense di gugo!
Tale è un problema ai valori iniziali ove manca il dato iniziale [tex]y(x_0)=y_0\in S[/tex]?
Assunto che sia così, il campo vettoriale [tex]f[/tex] è definito continuo nella striscia [tex]S[/tex], ivi risulta essere globalmente lipschitziano nella seconda variabile [tex]y[/tex] per cui tale problema ha un'unica soluzione [tex]y[/tex] definita da [tex](a;b)[/tex] (quell'insieme che io ho chiamato [tex]T[/tex] nel mio ultimo posto) a valori in [tex]S[/tex] (quell'insieme che io ho chiamato [tex]D[/tex] nel mio ultimo post).
Sottolineo che [tex]f[/tex] è globalmente lipschitziano in [tex]S[/tex] rispetto ad [tex]y[/tex] poiché dalle tue ipotesi:
[tex]\exists L_{(a;b)}=L>0\mid\forall(x;y_1);(x;y_2)\in S,\,|f(x;y_1)-f(x;y_2)|\leq L|y_1-y_2|[/tex]
P.S.: Su quelle dispense c'ho buttato e ci butto il sangue. Ove ho scritto che non basta la topologia naturale di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] per le ODE l'ho scritto con cognizione di causa, scopo e fine in quanto il prof. Berti (autore di tali dispense) da per noti i capitolo 1 ed i sottoparagrafi 8.1; 8.2 ed 8.3 in cui, mi ripeto, non è palesemente sufficiente la conoscenza della topologia naturale di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] ma vi è l'esigenza del lavorare con concetti di topologia generale. Nulla togliendo all'eccellenza del corso, del titolare e delle dispense vi sono altri punti poco evidenti, i quali non stò qui a scrivere, in cui vale quanto precedentemente e pedantemente ripetuto.
Assunto che sia così, il campo vettoriale [tex]f[/tex] è definito continuo nella striscia [tex]S[/tex], ivi risulta essere globalmente lipschitziano nella seconda variabile [tex]y[/tex] per cui tale problema ha un'unica soluzione [tex]y[/tex] definita da [tex](a;b)[/tex] (quell'insieme che io ho chiamato [tex]T[/tex] nel mio ultimo posto) a valori in [tex]S[/tex] (quell'insieme che io ho chiamato [tex]D[/tex] nel mio ultimo post).
Sottolineo che [tex]f[/tex] è globalmente lipschitziano in [tex]S[/tex] rispetto ad [tex]y[/tex] poiché dalle tue ipotesi:
[tex]\exists L_{(a;b)}=L>0\mid\forall(x;y_1);(x;y_2)\in S,\,|f(x;y_1)-f(x;y_2)|\leq L|y_1-y_2|[/tex]
P.S.: Su quelle dispense c'ho buttato e ci butto il sangue. Ove ho scritto che non basta la topologia naturale di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] per le ODE l'ho scritto con cognizione di causa, scopo e fine in quanto il prof. Berti (autore di tali dispense) da per noti i capitolo 1 ed i sottoparagrafi 8.1; 8.2 ed 8.3 in cui, mi ripeto, non è palesemente sufficiente la conoscenza della topologia naturale di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] ma vi è l'esigenza del lavorare con concetti di topologia generale. Nulla togliendo all'eccellenza del corso, del titolare e delle dispense vi sono altri punti poco evidenti, i quali non stò qui a scrivere, in cui vale quanto precedentemente e pedantemente ripetuto.
Aaaahhh ok ok allora ci sono Avevo capito bene dal tuo post. In base al tipo di lipschitzianità ho un'unicità più o meno estesa
Ps: mi autoquoto:
Forse ho capito allora. Quell' "insieme di definizione " a cui il professore fa riferimento è l'insieme di definizione del campo vettoriale (f ) ?
Perchè in tal caso allora ha tutto senso. Cioè visto che non era specificato io avevo capito che la $\varphi$ soluzione del problema di cauchy andasse fuori dal SUO STESSo insieme di definizione, cosa che a me appare insensata.
Tuttavia se si stesse riferendo al dominio della f, allora si che avrebbe senso, perchè ovviamente nel caso in cui il campo sia definito in un dato insieme, la soluzione del problema non potrà aver senso al di fuori di tale insieme!
Mentre se il dominio del campo è una striscia, ovviamente non ci sono punti in cui non è definita ed allora $\varphi$ è sempre definita!
Vi prego ditemi che ho capito, se no mi do all'ippica!
Avevo capito bene dal tuo post. In base al tipo di lipschitzianità ho un'unicità più o meno estesa Ps: mi autoquoto:
Potrsti spiegarmi questi teoremi di estenzione locale? Credo di essermi fatto una vaga idea di cosa vogliano dire, almeno il mio prof ha fatto l'esempio di un'insieme circolare e di una striscia, dicendo che in una striscia la soluzione del problema di cauchy non può "andare oltre l'insieme di definizione", mentre in un insieme limitato si.
Forse ho capito allora. Quell' "insieme di definizione " a cui il professore fa riferimento è l'insieme di definizione del campo vettoriale (f ) ?
Perchè in tal caso allora ha tutto senso. Cioè visto che non era specificato io avevo capito che la $\varphi$ soluzione del problema di cauchy andasse fuori dal SUO STESSo insieme di definizione, cosa che a me appare insensata.
Tuttavia se si stesse riferendo al dominio della f, allora si che avrebbe senso, perchè ovviamente nel caso in cui il campo sia definito in un dato insieme, la soluzione del problema non potrà aver senso al di fuori di tale insieme!
Mentre se il dominio del campo è una striscia, ovviamente non ci sono punti in cui non è definita ed allora $\varphi$ è sempre definita!
Vi prego ditemi che ho capito, se no mi do all'ippica!
Hai pseudocapito, non devi dimenticare di trascrivere le ipotesi sul campo vettoriale $f$; devi richiedere la lipschitzianità in y locale o globale!
Ok, pseudocapito meglio di niente!
Allora. Per essere sicuri che il problema di cauchy ha una ed una sola soluzione LOCALE, il campo vettoriale deve essere:
1) continuo nel suo insieme di definizione
2) lipschitziano in y ( supponendo un'eq del tipo $y' = f(x,y) $ )
Allora in tal caso sto problema di cauchy ammette una soluzione unica, che non è detto che coincida con la soluzione massimale definita nell'insieme di definizione del campo vettoriale.
Se invece il campo vettoriale soddisfa le ipotesi di:
1) essere continuo in una striscia
2) essere lipschitziano in y ed uniformemente in x
Allora questa unica soluzione esiste, è unica, e coincide con la soluzione massimale.
Quindi... questa soluzione massimale dve essere limitata all'insieme di definizione del campo?
Allora. Per essere sicuri che il problema di cauchy ha una ed una sola soluzione LOCALE, il campo vettoriale deve essere:
1) continuo nel suo insieme di definizione
2) lipschitziano in y ( supponendo un'eq del tipo $y' = f(x,y) $ )
Allora in tal caso sto problema di cauchy ammette una soluzione unica, che non è detto che coincida con la soluzione massimale definita nell'insieme di definizione del campo vettoriale.
Se invece il campo vettoriale soddisfa le ipotesi di:
1) essere continuo in una striscia
2) essere lipschitziano in y ed uniformemente in x
Allora questa unica soluzione esiste, è unica, e coincide con la soluzione massimale.
Quindi... questa soluzione massimale dve essere limitata all'insieme di definizione del campo?
La prima parte è OK!
La seconda parte t'assicura che la soluzione esiste, è unica ed è massimale nella striscia!
Per la terza parte: il grafico della soluzione massimale (ma anche locale, estesa o quel che è) non può lasciare l'insieme di definizione del capo vettoriale. Insomma, lo hai detto bene!
La seconda parte t'assicura che la soluzione esiste, è unica ed è massimale nella striscia!
Per la terza parte: il grafico della soluzione massimale (ma anche locale, estesa o quel che è) non può lasciare l'insieme di definizione del capo vettoriale. Insomma, lo hai detto bene!
Ok allora grazie a tutti Siete formidabili
Siete formidabili
Questa è una palla bella e buona riferita a me 
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