Problemi di Cauchy per equazioni di ordine superiore

[magliocurioso]

Ciao a tutti

Dopo aver cercato a lungo sul web non ho trovato nulla e pertanto mi rivolgo a voi.

Certamente molti di noi sanno cosa significa discutere l'esistenza e l'unicità della soluzione di un problema di Cauchy per un'equazione differenziale del primo ordine e molti libri espondono dettagliatamente l'argomento.

Ho notato che invece nessun libro scrive un metodo generale per discutere l'esistenza e l'unicità della soluzione per problemi di Cauchy relativi a equazioni differenziali di ordine superiore al primo.

Sapreste indicarmi dove posso reperire del materiale didattico al riguardo?

[klarence1]

L'esistenza e unicità per problemi di Cauchy di ordine superiore si riconduce all'esistenza e unicità per problemi di cauchy del primo ordine, per questo nessun libro di sofferma.

[magliocurioso]

E come si riconduce?

[klarence1]

poni $y=u_1$ $y'=u_2$ ..... $y^(n-1)=u_(n)$ . In questo modo il problema di C. di ordine $n$ diventa di ordine 1 e la ricerca della nostra $y$ diventa la ricerca di una funzione vettoriale $(u_1,u_2, ... , u_(n))$ che soddisfa le richieste (cosa che praticamente quasi mai è possibile).

Edit: modificato.

[magliocurioso]

"klarence":poni $y=u_1$ $y'=u_2$ ..... $y^(n-1)=u_(n)$ . In questo modo il problema di C. di ordine $n$ diventa di ordine 1 e la ricerca della nostra $y$ diventa la ricerca di una funzione vettoriale $(u_1,u_2, ... , u_(n))$ che soddisfa le richieste (cosa che praticamente quasi mai è possibile).

Edit: modificato.

Nel cambiare variebile, è vero che si abbassa l'ordine dell'equazione ma automaticamente ci si ritrova a dover risolvere un SISTEMA di ODE.

Quindi mi nasce spontaneamente la domanda: come si discute l'esistenza e l'unicità della soluzione per un problema di Cauchy relativo ad un sistema?

[klarence1]

"magliocurioso":

Nel cambiare variebile, è vero che si abbassa l'ordine dell'equazione ma automaticamente ci si ritrova a dover risolvere un SISTEMA di ODE.

Quindi mi nasce spontaneamente la domanda: come si discute l'esistenza e l'unicità della soluzione per un problema di Cauchy relativo ad un sistema?

I teoremi che hai studiato per l'esistenza e unicità della soluzione di un problema di cauchy valgono sia nel caso in cui l'incognita $y$ è una funzione reale sia nel caso in cui l'incognita $y$ è una funzione vettoriale.

[magliocurioso]

"klarence":I teoremi che hai studiato per l'esistenza e unicità della soluzione di un problema di cauchy valgono sia nel caso in cui l'incognita $y$ è una funzione reale sia nel caso in cui l'incognita $y$ è una funzione vettoriale.

ok ma, per un sistema di ode?


e poi c'è qualcosa che non mi convince. Mi spiego melgio: io usavo quel "metodo pratico" in virtù del quale dato

$\{(y'(x) = f(x,(y(x)))),(y(x_0) = y_0):}$

se la derivata parziale di f è continua su un aperto del piano contenente la condizione iniziale allora la soluzione esiste ed è unica.

Come faccio ad estendere questo metodo pratico per equazioni di ordine superiore al secondo?

[magliocurioso]

Ecco, facciamo un esempio

Supponiamo di voler risolvere

$\{(y''(x) = y^2(x)),(y(x_0) = y_0),(y'(x_0) = y_0):}$

come faccio a dire se la soluzione esiste ed è unica?

Per mera curiosità ho provato a scriverla su Wolfram Alpha e sono rimasto scandalizzato

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%20%3D%20y^2&t=ff3tb01

[klarence1]

"magliocurioso":[quote="klarence"]I teoremi che hai studiato per l'esistenza e unicità della soluzione di un problema di cauchy valgono sia nel caso in cui l'incognita $y$ è una funzione reale sia nel caso in cui l'incognita $y$ è una funzione vettoriale.

ok ma, per un sistema di ode?
[/quote]

Il fatto che il problema di chauchy sia una equazione o un sistema dipende dal fatto che l'incognita y sia una funzione vettoriale o una funzione reale, e il teorema di esistenza e unicità vale anche se l'incognita y è una funzione vettoriale... cioè se il problema di cauchy è un sistema.

[klarence1]

"magliocurioso":Ecco, facciamo un esempio

Supponiamo di voler risolvere

$\{(y''(x) = y^2(x)),(y(x_0) = y_0),(y'(x_0) = y_0):}$

come faccio a dire se la soluzione esiste ed è unica?

Dovresti porre $y=u_1$ $y'=u_2$ e l'eq diventa

$\{((u_2)'=(u_1)^2),(u_1(x_0)=y_0),(u_2(x_0)=y_0):}$

quindi la soluzione del pdc iniziale esiste ed è unica se la soluzione di questo pdc esiste ed è unica.

[gugo82]

"magliocurioso":Supponiamo di voler risolvere

$\{(y''(x) = y^2(x)),(y(x_0) = y_0),(y'(x_0) = y_0):}$

come faccio a dire se la soluzione esiste ed è unica?

Per mera curiosità ho provato a scriverla su Wolfram Alpha e sono rimasto scandalizzato

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%20%3D%20y^2&t=ff3tb01

E perchè mai sei rimasto scandalizzato?

Mica tutti i problemi sono risolvibili elementarmente... Questa è una cosa che avresti già dovuto notare in Analisi I, quando ad esempio hai provato a calcolare (senza riuscirci) una primitiva di [tex]$e^{-x^2}$[/tex] oppure di [tex]$\tfrac{\sin x}{x}$[/tex] coi soliti metodi elementari.

Ad ogni modo, l'esistenza e l'unicità delle soluzioni per un PdC relativo ad un'equazione di ordine superiore si desume, come detto da klarence, da quello per sistemi del primo ordine.
Un riferimento in proposito potrebbe essere il libro di Cafiero, Lezioni di Analisi II, Liguori; ma in realtà non c'è nemmeno bisogno di andare a vedere un testo: basta ripetere la dimostrazione con le ovvie modifiche dovute alla presenza di funzioni vettoriali.

[j18eos]

Nella sottosezione delle dispense ho postato degli appunti sulle ODE di I grado con un capitoletto (il VII) su quelle di grado superiore; puoi provare ad attingere da lì.

[magliocurioso]

"gugo82":
E perchè mai sei rimasto scandalizzato?

Mica tutti i problemi sono risolvibili elementarmente..

È vero ma senza Wolfram non ci sarei mai arrivato...

Conoscete qualche libro dove posso imparare ad usare le funzioni speciali per risolvere problemi simili a questo?