Problemi di Cauchy con trasfromata di Laplace : Come posso scomporre rapidamente in fratte semplici?
Salve a tutti , ho il seguente Problema di Cauchy da risolvere con le trasfromate di Laplace , conosco il "modus operandi" per risolvere l'esercizio , ma ho difficoltà nella parte di scomposizione in fratte semplici, avete dei suggerimenti per aggirare il problema in maniera semplice ?
Testo :
Mio svolgimento:
•Calcolo la trasformata di Lapalce del membro di sinistra dell'equazione differenziale:
$ ℒ_t[y''(t)-2y'(t) + y(t)](s) = ℒ_t[y(t)](s) * (s^2 - 2s + 1 ) $
•Calcolo la trasformata di Lapalce del membro di destra dell'equazione differenziale:
$ ℒ_t[t e^(-t) sin(π t)](s) = (2 π (s + 1))/((s + 1)^2 + π^2)^2 $
• Determino la trasformata di Lapalce
$ ℒ_t[y(t)](s) = (2 π (s + 1))/( ( (s + 1)^2 + π^2)^2 * (s^2 - 2s + 1 ) ) = (2 π (s + 1))/( ( (s + 1)^2 + π^2)^2 * (s-1 )^2 ) $
A questo punto per risolvere l'esercizio dovrei antitrasformare , in genere sono solito dividere la precedente espressione in fratte semplici , ma in questo caso è molto complesso , almeno a mio avviso , procedere per questa strada...
qualcuno saprebbe indicarmi come procedere nel migliore dei modi? O magari indicarmi un modo semplice per la decomposizione in fratte semplici della suddetta trasfromata di lapalce?
Grazie in Anticipo
Testo :
Mio svolgimento:
•Calcolo la trasformata di Lapalce del membro di sinistra dell'equazione differenziale:
$ ℒ_t[y''(t)-2y'(t) + y(t)](s) = ℒ_t[y(t)](s) * (s^2 - 2s + 1 ) $
•Calcolo la trasformata di Lapalce del membro di destra dell'equazione differenziale:
$ ℒ_t[t e^(-t) sin(π t)](s) = (2 π (s + 1))/((s + 1)^2 + π^2)^2 $
• Determino la trasformata di Lapalce
$ ℒ_t[y(t)](s) = (2 π (s + 1))/( ( (s + 1)^2 + π^2)^2 * (s^2 - 2s + 1 ) ) = (2 π (s + 1))/( ( (s + 1)^2 + π^2)^2 * (s-1 )^2 ) $
A questo punto per risolvere l'esercizio dovrei antitrasformare , in genere sono solito dividere la precedente espressione in fratte semplici , ma in questo caso è molto complesso , almeno a mio avviso , procedere per questa strada...
qualcuno saprebbe indicarmi come procedere nel migliore dei modi? O magari indicarmi un modo semplice per la decomposizione in fratte semplici della suddetta trasfromata di lapalce?
Grazie in Anticipo
Risposte
Ci ho provato ma (dopo alcune ore) si arriva ad una soluzione che non coincide con quella fornita da Mathematica..è probabile che sbaglio nel calcolo di qualche limite o di qualche derivata (ora ti mostro i passaggi) tuttavia anche non procedendo con i fratti "semplici" la mole di calcoli è assurda..se non esistono altri metodi dubito che venga lasciato un esercizio del genere ad un esame..i calcoli lasciamoli fare ai software, quello che importa è la sostanza..comunque..
La nostra funzione da antitrasformare è :
che possiamo riscrivere come :
sfruttando la proprietà di traslazione dell'antitrasformata si ha :
adesso possiamo utilizzare la formula di espansione di Heaviside (nel caso di poli a molteplicità non semplice), in questo modo:
dove \(\displaystyle a_j \) sono i poli della \(\displaystyle f(s) \) di molteplicità \(\displaystyle n_j \) quindi abbiamo :
La nostra funzione da antitrasformare è :
\(\displaystyle f(s) = \frac{2 \pi (s+1)}{((s+1)^2+\pi^2)^2(s-1)^2} \)
che possiamo riscrivere come :
\(\displaystyle = \frac{2 \pi (s+1)}{((s+1)^2+\pi^2)^2((s+1)^2-4(s+1)+4)} \)
sfruttando la proprietà di traslazione dell'antitrasformata si ha :
\(\displaystyle \mathcal{L}^{-1}(f(s))(t) = 2 \pi e^{-t} \;\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{s}{(s^2+\pi^2)^2(s-2)^2}\right)(t) \)
adesso possiamo utilizzare la formula di espansione di Heaviside (nel caso di poli a molteplicità non semplice), in questo modo:
\(\displaystyle = 2 \pi e^{-t} \left( \sum_{j=1}^{r} \sum_{p=1}^{n_j} \frac{A_{jp}}{(p-1)!} t^{p-1}\;e^{a_j\;t} \right)u(t) \)
dove \(\displaystyle a_j \) sono i poli della \(\displaystyle f(s) \) di molteplicità \(\displaystyle n_j \) quindi abbiamo :
[*:1cpqvjtv]\(\displaystyle a_1 = i\;\pi \) con molteplicità \(\displaystyle n_1 = 2 \)[/*:1cpqvjtv]
[*:1cpqvjtv]\(\displaystyle a_2 = -i\;\pi \) con molteplicità \(\displaystyle n_2 = 2 \)[/*:1cpqvjtv]
[*:1cpqvjtv]\(\displaystyle a_3 = 2 \) con molteplicità \(\displaystyle n_3 = 2 \)[/*:1cpqvjtv]
[/list:u:1cpqvjtv]
mentre gli \(\displaystyle A_{jp} \) si determinano con :
\(\displaystyle A_{jp} = \frac{1}{(n_j-p)!} \; \lim_{s \to a_j} D^{(n_j-p)} \left\{(s-a_j)^{n_j} \; f(s)\right\} \)
per \(\displaystyle j=1,2,..., \) (in questo avendo \(\displaystyle 3 \) poli \(\displaystyle j \) arriva fino a \(\displaystyle 3 \)) e \(\displaystyle p=1,2,...,n_j \).
Esplicitando le somme si ha :
\(\displaystyle = 2 \pi e^{-t} \; \left( \sum_{p=1}^{2} \frac{A_{1p}}{(p-1)!} t^{p-1}\;e^{i\pi\;t} + \sum_{p=1}^{2} \frac{A_{2p}}{(p-1)!} t^{p-1}\;e^{-i\pi\;t} + \sum_{p=1}^{2} \frac{A_{3p}}{(p-1)!} t^{p-1}\;e^{2\;t} \right) u(t) \)
Espandendo ancora le somme si ha :
\(\displaystyle = 2 \pi e^{-t} \left( A_{11} e^{i \pi\;t} + A_{12} t\;e^{i \pi\;t} + A_{21} e^{-i \pi\;t} + A_{22} t\;e^{-i \pi\;t} + A_{31} e^{2t} + A_{32} t\; e^{2t} \right) u(t)\)
\(\displaystyle = 2 \pi e^{-t} \left[ e^{i \pi\;t} (A_{11} + t\; A_{12}) + e^{-i \pi\;t} (A_{21} + t\;A_{22}) + e^{2t}(A_{31} + t\; A_{32}) \right] u(t) \)
restano da calcolare solo gli \(\displaystyle A_{jp} \). Ti mostro solo come andrebbero fatti, lascio i conti a te anche perchè i miei sono sbagliati..dunque :
\(\displaystyle A_{11} = \lim_{s \to i\pi} D \left\{(s-i\pi)^2 \; f(s)\right) \)
\(\displaystyle A_{12} = \lim_{s \to i\pi} (s-i\pi)^2 \; f(s) \)
\(\displaystyle A_{21} = \lim_{s \to -i\pi} D \left\{(s+i\pi)^2 \; f(s)\right) \)
\(\displaystyle A_{22} = \lim_{s \to -i\pi} (s+i\pi)^2 \; f(s) \)
\(\displaystyle A_{31} = \lim_{s \to 2} D \left\{(s-2)^2 \; f(s)\right) \)
\(\displaystyle A_{32} = \lim_{s \to 2} (s-2)^2 \; f(s) \)
trovati questi valori dovresti aver trovato l'antitrasformata di Laplace di quella \(\displaystyle f(s) \).
Posto:
$Y(s) := \mathcal{L}{y(t),s}$
$f(t)=te^{-t}\sin(\pi t)$
trasformando ambo i membri si ha:
$s^2Y-2sY+sY = \mathcal{L}{f(t),s}$
$ Y(s) = \frac{\mathcal{L}{f(t),s}}{(s-1)^2}$
Noto:
2. $\mathcal{L}{te^tH(t),s}= \frac{1}{(s-1)^2}$
3. $\mathcal{L}{u \ast v, s} = \mathcal{L}{u,s} \mathcal{L}{v,s}$
Come si può concludere?
$Y(s) := \mathcal{L}{y(t),s}$
$f(t)=te^{-t}\sin(\pi t)$
trasformando ambo i membri si ha:
$s^2Y-2sY+sY = \mathcal{L}{f(t),s}$
$ Y(s) = \frac{\mathcal{L}{f(t),s}}{(s-1)^2}$
Noto:
2. $\mathcal{L}{te^tH(t),s}= \frac{1}{(s-1)^2}$
3. $\mathcal{L}{u \ast v, s} = \mathcal{L}{u,s} \mathcal{L}{v,s}$
Come si può concludere?
@Oiram92: Si all'incirca ho provato anche io a procedere analogamente a come hai fatto tu con la formula di Hermite per poli complessi coniugati doppi ... ma anche io trovo che sia una immensità assurda di calcoli, grazie infinite per l'aiuto
Ciao, grazie per l'interessamento ... ma ho difficoltà ancora a capire come "concludere"
•Per la nota 2:
Direi che si può riscrivere
$ Y(s) = \mathcal{L}{f(t),s} * \mathcal{L}{te^tH(t),s}$
che immagino siano
$ \mathcal{L}{u,s} * \mathcal{L}{v,s}$
Che intendi nella nota 3
Dalla nota 3: non capisco cosa fare ... scusami , potresti illuminarmi
In genere uso la proprietà della nota 3 per trovare una convoluzione di due funzioni : calcolo la trasformata di laplace di entrambi , ne faccio il prodotto ed antitrasformando ottengo la convoluzione di tali funzioni ... ma non capisco il nesso
"Bremen000":
Posto:
$Y(s) := \mathcal{L}{y(t),s}$
$f(t)=te^{-t}\sin(\pi t)$
trasformando ambo i membri si ha:
$s^2Y-2sY+sY = \mathcal{L}{f(t),s}$
$ Y(s) = \frac{\mathcal{L}{f(t),s}}{(s-1)^2}$
Noto:
2. $\mathcal{L}{te^tH(t),s}= \frac{1}{(s-1)^2}$
3. $\mathcal{L}{u \ast v, s} = \mathcal{L}{u,s} \mathcal{L}{v,s}$
Come si può concludere?
Ciao, grazie per l'interessamento ... ma ho difficoltà ancora a capire come "concludere"
•Per la nota 2:
Direi che si può riscrivere
$ Y(s) = \mathcal{L}{f(t),s} * \mathcal{L}{te^tH(t),s}$
che immagino siano
$ \mathcal{L}{u,s} * \mathcal{L}{v,s}$
Che intendi nella nota 3
Dalla nota 3: non capisco cosa fare ... scusami , potresti illuminarmi
In genere uso la proprietà della nota 3 per trovare una convoluzione di due funzioni : calcolo la trasformata di laplace di entrambi , ne faccio il prodotto ed antitrasformando ottengo la convoluzione di tali funzioni ... ma non capisco il nesso
Se
$ Y(s) = \mathcal{L}{f(t),s} * \mathcal{L}{te^tH(t),s}$
allora
$y(t) = f(t) \ast te^t H(t) = \int_{\mathbb{R}} (t-\tau)e^{t-\tau}H(t-\tau) f(\tau)H(\tau) d\tau $
$ Y(s) = \mathcal{L}{f(t),s} * \mathcal{L}{te^tH(t),s}$
allora
$y(t) = f(t) \ast te^t H(t) = \int_{\mathbb{R}} (t-\tau)e^{t-\tau}H(t-\tau) f(\tau)H(\tau) d\tau $
"Bremen000":
Se
$ Y(s) = \mathcal{L}{f(t),s} * \mathcal{L}{te^tH(t),s}$
allora
$y(t) = f(t) \ast te^t H(t) = \int_{\mathbb{R}} (t-\tau)e^{t-\tau}H(t-\tau) f(\tau)H(\tau) d\tau $
Ok (scusa per il ritardo) ma questo implicherebbe che per trovare la soluzione al problema di Cauchy dovrei passare per la risoluzione di quell'integrale ... l'unico problema è che noi , facendo metodi e non teoria dei segnali , l'unico modo in cui risolviamo quell'integrale è applicando la trasformata e antitrasformata di Laplace , quindi sarei punto e accapo ... è così?
Quell'integrale si risolve integrando per parti e usando tecniche di integrazione standard, anche se è orribile e lungo e il risultato è mostruoso.
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