Problemi di Cauchy
Ciao.
Vorrei approfittare delle vacanze natalizier per imparare a svolgere gli esercizi di analisi relativi a equazioni differenziali e problemi di Cauchy (mi riferisco ad uno studio qualitativo). Il problema non è tanto la parte di teoria, che abbiamo approfondito con dettaglio, quanto il fatto che mi manca proprio un metodo. Quando mi trovo davanti il problema di Cauchy non capisco come procedere passo per passo.
Anche perchè è la prima volta che affronto equazioni differenziali e problemi di Cauchy in modo così approfondito (purtroppo nel corso di Calcolo II dell'anno scorso, in cui si affronta uno studio quantitativo delle soluzioni, non avevo capito molto bene) e mi lasciano un po' perplessa...
Mi potete aiutare?
ESERCIZIO
Sia (P) :${(y'= f(x,y) = 1/(y(x) - x^2)), (y(0) = a):}$
Dimostrare che esiste (unica) una soluzione $y_a (x)$ in $M_0$ (non specificato). Calcolare inoltre $(y_a)', (y_a)'', (y_a)'''$ in x=0.
RISOLUZIONE
Come prima cosa penso di dover verificare dove esattamente la funzione f(x,y) sia definita, giusto?
Quindi ho una condizione $y != x^2$, cioè, sul piano cartesiano, $RR^2 -{y=x^2}$ cioè il piano meno quella parabola.
Il teroema di esistenza locale (di Peano) in pratica dice che se f è continua, esiste una soluzione locale, cioè definita in un intorno di $x_0$.
La funzione data è continua nel suo dominio, quindi l'esistenza di soluzioni locali è assicurata.
Per l'unicità come procedo?
L'insieme di definizione si divide in due parti (che dovrò studiare separatamente):
$A_1 = {(x,y) in RR^2 : y > x^2}$ la parte "interna" alla parabola e
$A_2 = {(x,y) in RR^2 : y< x^2}$ cioè laparte "esterna".
Il teorema di unicità locale assicura che la soluzione $phi$ è unica se f è localmente Lipschitziana.
Come faccio a mostrarlo? ( Forse per $A_1$ devo usare il fatto che se una funzione è derivabile in y con derivata limitata e l'insieme di definizione è localmente convesso allora tale funzione è localmente Lipschitz rispetto a y? ma come procedo?)
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo e buoan giornata
Vorrei approfittare delle vacanze natalizier per imparare a svolgere gli esercizi di analisi relativi a equazioni differenziali e problemi di Cauchy (mi riferisco ad uno studio qualitativo). Il problema non è tanto la parte di teoria, che abbiamo approfondito con dettaglio, quanto il fatto che mi manca proprio un metodo. Quando mi trovo davanti il problema di Cauchy non capisco come procedere passo per passo.
Anche perchè è la prima volta che affronto equazioni differenziali e problemi di Cauchy in modo così approfondito (purtroppo nel corso di Calcolo II dell'anno scorso, in cui si affronta uno studio quantitativo delle soluzioni, non avevo capito molto bene) e mi lasciano un po' perplessa...
Mi potete aiutare?
ESERCIZIO
Sia (P) :${(y'= f(x,y) = 1/(y(x) - x^2)), (y(0) = a):}$
Dimostrare che esiste (unica) una soluzione $y_a (x)$ in $M_0$ (non specificato). Calcolare inoltre $(y_a)', (y_a)'', (y_a)'''$ in x=0.
RISOLUZIONE
Come prima cosa penso di dover verificare dove esattamente la funzione f(x,y) sia definita, giusto?
Quindi ho una condizione $y != x^2$, cioè, sul piano cartesiano, $RR^2 -{y=x^2}$ cioè il piano meno quella parabola.
Il teroema di esistenza locale (di Peano) in pratica dice che se f è continua, esiste una soluzione locale, cioè definita in un intorno di $x_0$.
La funzione data è continua nel suo dominio, quindi l'esistenza di soluzioni locali è assicurata.
Per l'unicità come procedo?
L'insieme di definizione si divide in due parti (che dovrò studiare separatamente):
$A_1 = {(x,y) in RR^2 : y > x^2}$ la parte "interna" alla parabola e
$A_2 = {(x,y) in RR^2 : y< x^2}$ cioè laparte "esterna".
Il teorema di unicità locale assicura che la soluzione $phi$ è unica se f è localmente Lipschitziana.
Come faccio a mostrarlo? ( Forse per $A_1$ devo usare il fatto che se una funzione è derivabile in y con derivata limitata e l'insieme di definizione è localmente convesso allora tale funzione è localmente Lipschitz rispetto a y? ma come procedo?)
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo e buoan giornata
Risposte
ciao! allora il teorema di esistenza e unicità locale assicura, come hai detto, che se il campo vettoriale f è continuo e definito in un chiuso contenente il dato iniziale, $ (0,a) $ nel tuo caso, e la funzione è localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile, allora esiste un'unica funzione di classe $ C^1 $ definita in un intorno di $ 0 $ (sempre nel tuo caso) che sia soluzione del problema di Cauchy. Mi sembra che tu stia procedendo bene, ti consiglio le dispense del mio professore http://www.dma.unina.it/~berti/sistdinamici/LectureSD.pdf. Ho appena fatto quest'esame e sono molto chiare, ci sono esempi fatti davvero bene. Spero possano esserti utili.
Ciao!
Innanzitutto grazie per la risposta e per il link.
Ho guardato le dispense, sono fatte bene. La parte teorica è più o meno la stessa che abbiamo affrontato noi.
Gli esercizi sono però piuttosto diversi...
Quindi ho ancora qualche problema con il problema di Cauchy.
Cioè, non riesco a capire bene come procedere: devo dimostare o no che f è Lipschitziana...noi spesso negli esercizi usiamo il fatto che se f è $C^oo (D)$ allora la derivata in y è continua e quindi f è Lipschitziana in y localmente. Ma questo non l'abbiamo dimostrato....
Suggerimenti?
Scusate la mia testaccia dura...
Buone feste.
Innanzitutto grazie per la risposta e per il link.
Ho guardato le dispense, sono fatte bene. La parte teorica è più o meno la stessa che abbiamo affrontato noi.
Gli esercizi sono però piuttosto diversi...
Quindi ho ancora qualche problema con il problema di Cauchy.
Cioè, non riesco a capire bene come procedere: devo dimostare o no che f è Lipschitziana...noi spesso negli esercizi usiamo il fatto che se f è $C^oo (D)$ allora la derivata in y è continua e quindi f è Lipschitziana in y localmente. Ma questo non l'abbiamo dimostrato....
Suggerimenti?
Scusate la mia testaccia dura...
Buone feste.
Assumiamo che $f_y$ sia continua in un aperto $D$ (cosa certamente verificata se $f\in C^{\infty}(D)$).
Prendi una qualsiasi palla chiusa $B$ contenuta in $D$. Poiché $f_y$ è continua nel compatto $B$, allora per il teorema di Weierstrass esiste una costante $M>0$ t.c. $|f_y(x,y)| \le M$ per ogni $(x,y)\in B$.
Se $(x,y_1)$ e $(x,y_2)$ sono punti di $B$, applicando il teorema di Lagrange alla restrizione $\phi(t) := f(x, (1-t) y_1 + t y_2)$, $t\in [0,1]$, hai che esiste un punto $t_0\in (0,1)$ t.c. $\phi(1) - \phi(0) = \phi'(t_0)$, vale a dire
$f(x, y_2) - f(x, y_1) = f_y(x, (1-t_0) y_1 + t_0 y_2)\cdot (y_2 - y_1)$,
da cui ottieni
$|f(x, y_2) - f(x, y_1)| \le M |y_2 - y_1|$.
(Per quest'ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che $B$ è un insieme convesso; di conseguenza, $(x, (1-t) y_1 + t y_2)\in B$ per ogni $t\in [0,1]$.)
Prendi una qualsiasi palla chiusa $B$ contenuta in $D$. Poiché $f_y$ è continua nel compatto $B$, allora per il teorema di Weierstrass esiste una costante $M>0$ t.c. $|f_y(x,y)| \le M$ per ogni $(x,y)\in B$.
Se $(x,y_1)$ e $(x,y_2)$ sono punti di $B$, applicando il teorema di Lagrange alla restrizione $\phi(t) := f(x, (1-t) y_1 + t y_2)$, $t\in [0,1]$, hai che esiste un punto $t_0\in (0,1)$ t.c. $\phi(1) - \phi(0) = \phi'(t_0)$, vale a dire
$f(x, y_2) - f(x, y_1) = f_y(x, (1-t_0) y_1 + t_0 y_2)\cdot (y_2 - y_1)$,
da cui ottieni
$|f(x, y_2) - f(x, y_1)| \le M |y_2 - y_1|$.
(Per quest'ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che $B$ è un insieme convesso; di conseguenza, $(x, (1-t) y_1 + t y_2)\in B$ per ogni $t\in [0,1]$.)
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