Problemi di Cauchy
Per la serie.... l'esame di Analisi si avvicina a grandi balzi 
Consideriamo i due problemi di Cauchy
$\{(y'=y tgx), (y(0)=2):} \qquad \qquad \qquad \qquad {(y'=e^y(1-x)), (y(0)=log2):}
e le relative soluzioni $y = 2 / cosx$ e $y = - log((x-1)^2/2)$
1) La soluzione del primo problema è definita nello stesso intervallo in cui è definita la "funzione di partenza", ovvero $x \ne pi/2 + kpi, \quad k in ZZ$... posso quindi concludere che si tratta di una soluzione "in grande" (d'altronde l'equazione differenziale relativa è lineare....) e verificare che in effetti la $f(x,y) = y tgx$ soddifsa le condizioni del teorema di esistenza e unicità globale.
$f(x,y)$ è definita e continua in ogni "striscia" $S = {(x,y) in RRxRR: x in (-pi/2 + kpi, +pi/2 + kpi), k in ZZ \quad, y in RR}
$del f(x,y)/(dely) = tgx$ ... è limitata in S ?
Direi di NO, ma se così non fosse non sarebbe un soluzione in grande...
Mi sfugge qualcosa (che penso abbia a che fare con la maledetta lipschitzianità di f in S)
2) La soluzione del secondo problema è definita in ogni intervallo non contenente $x=1$, per cui si tratta di una soluzione "in piccolo" e l'intervallo massimale è $(-\infty, 1)$... questo non coincide con il campo di esistenza della funzione di partenza (che è definita su tutto $RR$), per cui la soluzione soddisfa le condizioni del teorema di esistenza e unicità locale e non quelle del teorema di esistenza e unicità globale.
$f(x,y)$ = $del f(x,y) /(del y)$ continue ovunque ---> esiste una soluzione locale
$f(x,y)$ continua, $del f(x,y) /(dely)$ limitata in S (??) ... --> non esiste una soluzione globale
INSOMMA
Cosa devo mostrare per concludere che la $del f(x,y) /(del y)$ sia limitata in una striscia ?
Consideriamo i due problemi di Cauchy
$\{(y'=y tgx), (y(0)=2):} \qquad \qquad \qquad \qquad {(y'=e^y(1-x)), (y(0)=log2):}
e le relative soluzioni $y = 2 / cosx$ e $y = - log((x-1)^2/2)$
1) La soluzione del primo problema è definita nello stesso intervallo in cui è definita la "funzione di partenza", ovvero $x \ne pi/2 + kpi, \quad k in ZZ$... posso quindi concludere che si tratta di una soluzione "in grande" (d'altronde l'equazione differenziale relativa è lineare....) e verificare che in effetti la $f(x,y) = y tgx$ soddifsa le condizioni del teorema di esistenza e unicità globale.
$f(x,y)$ è definita e continua in ogni "striscia" $S = {(x,y) in RRxRR: x in (-pi/2 + kpi, +pi/2 + kpi), k in ZZ \quad, y in RR}
$del f(x,y)/(dely) = tgx$ ... è limitata in S ?
Direi di NO, ma se così non fosse non sarebbe un soluzione in grande...Mi sfugge qualcosa (che penso abbia a che fare con la maledetta lipschitzianità di f in S)
2) La soluzione del secondo problema è definita in ogni intervallo non contenente $x=1$, per cui si tratta di una soluzione "in piccolo" e l'intervallo massimale è $(-\infty, 1)$... questo non coincide con il campo di esistenza della funzione di partenza (che è definita su tutto $RR$), per cui la soluzione soddisfa le condizioni del teorema di esistenza e unicità locale e non quelle del teorema di esistenza e unicità globale.
$f(x,y)$ = $del f(x,y) /(del y)$ continue ovunque ---> esiste una soluzione locale
$f(x,y)$ continua, $del f(x,y) /(dely)$ limitata in S (??) ... --> non esiste una soluzione globale
INSOMMA
Cosa devo mostrare per concludere che la $del f(x,y) /(del y)$ sia limitata in una striscia ?
Risposte
"Mezcalito":
Consideriamo i due problemi di Cauchy
$\{(y'=y tgx), (y(0)=2):} \qquad \qquad \qquad \qquad {(y'=e^y(1-x)), (y(0)=log2):}
e le relative soluzioni $y = 2 / cosx$ e $y = - log((x-1)^2/2)$
1) La soluzione del primo problema è definita nello stesso intervallo in cui è definita la "funzione di partenza", ovvero $x \ne pi/2 + kpi, \quad k in ZZ$... posso quindi concludere che si tratta di una soluzione "in grande" (d'altronde l'equazione differenziale relativa è lineare....) e verificare che in effetti la $f(x,y) = y tgx$ soddifsa le condizioni del teorema di esistenza e unicità globale.
Attenzione, l'insieme su cui è definita la tangente non è un intervallo.
A questo fatto aggiungo che, ideologicamente, sono un sostenitore acceso del fatto che la soluzione di un problema di Cauchy sia definita su un intervallo. Pronto a fare a ****tti su questo, e anche oltre:
"Mezcalito":
$f(x,y)$ è definita e continua in ogni "striscia" $S = {(x,y) in RRxRR: x in (-pi/2 + kpi, +pi/2 + kpi), k in ZZ \quad, y in RR}
$del f(x,y)/(dely) = tgx$ ... è limitata in S ?
Mi sfugge qualcosa (che penso abbia a che fare con la maledetta lipschitzianità di f in S)
L'esistenza in grande per le equazioni lineari si ottiene via "patching" di una successione di intervalli chiusi e limitati inscatolati e "invadenti" l'intervallo (contenente l'ascissa della c.i.) su cui sono definiti e continui i coefficienti
... e io non sono pagato per fare patchwork o quelle robe lì 
Seriamente...
mi stai suggerendo che non è così semplice verificare le condizioni sufficienti del teorema di Cauchy... e che quindi posso lasciar correre? O sto proiettando su di te un mio desiderio molto poco inconscio ?
Seriamente...
mi stai suggerendo che non è così semplice verificare le condizioni sufficienti del teorema di Cauchy... e che quindi posso lasciar correre? O sto proiettando su di te un mio desiderio molto poco inconscio ?
"Mezcalito":
... e io non sono pagato per fare patchwork o quelle robe lì
Seriamente...
mi stai suggerendo che non è così semplice verificare le condizioni sufficienti del teorema di Cauchy... e che quindi posso lasciar correre? O sto proiettando su di te un mio desiderio molto poco inconscio ?
Ehm, mi piaceva leggere Freud, ed anche Jung, ma non sono professionalmente preparato per rispondere a questa difficiele domanda
Tornando al mio field, vediamo un esempio.
Se ho $y' = (\tan x)y$, su $]-pi/2,pi/2[$, applico il teorema di esistenza in grande su $[ -pi/2 + 1/n, pi/2 - 1/n ]$.
Le soluzioni su questi intervalli "si attaccano bene" e da qui esistenza e unicità della soluzione su $]-pi/2,pi/2[$.
Questo sopra è uno sketch, ma è la strada standard che viene seguita nella dim. Rinvio alla dim. che tovi sul tuo libro/manuale/appunti/videoregistrazione/incunabolo per i dettagli.
Ok grazie mille
chi mi sa dire in generale cos è un intervallo massimale?
Sia data una famiglia d'intervalli $F={I_k}_(k in K)$.
Un elemento $I_j in F$ si dice massimale (rispetto alla relazione d'inclusione $subseteq$) se e solo se si verificano i seguenti fatti:
1) $AA k in K, I_k subseteq I_j$;
2) non esiste alcun $I_h in F$ tale che $I_jsubset I_h$.
Evidentemente l'unione della famiglia $F$, ossia l'insieme $U=\bigcup_(k in K) I_k$ gode delle proprietà 1) e 2), ma non è detto né che $U$ sia un intervallo né che esso sia in $F$ quindi in generale non puoi concludere che $U$ sia un elemento massimale di $F$.
Se, però, riesci a provare che $U$ è un intervallo appartenente alla famiglia $F$ stai pur sicuro che $U$ è l'intervallo massimale in $F$.
Un elemento $I_j in F$ si dice massimale (rispetto alla relazione d'inclusione $subseteq$) se e solo se si verificano i seguenti fatti:
1) $AA k in K, I_k subseteq I_j$;
2) non esiste alcun $I_h in F$ tale che $I_jsubset I_h$.
Evidentemente l'unione della famiglia $F$, ossia l'insieme $U=\bigcup_(k in K) I_k$ gode delle proprietà 1) e 2), ma non è detto né che $U$ sia un intervallo né che esso sia in $F$ quindi in generale non puoi concludere che $U$ sia un elemento massimale di $F$.
Se, però, riesci a provare che $U$ è un intervallo appartenente alla famiglia $F$ stai pur sicuro che $U$ è l'intervallo massimale in $F$.
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