Problemi con una serie antipatica
Buon sabato sera a tutti! Come dicevo ho dei problemi con lo studio del carattere di questa serie
$\sum_{n=0}^infty (alpha+((-1)^n)/2)^n$
In particolare devo studiarne il carattere al variare di $alpha$
il problema è che ho provato a ragionare intuitivamente provando un po' di $alpha$ tipo 0, 1 eccecc e alla fine ho ottenuto che forse la serie converge se $-1/2
Tuttavia non riesco a metterci le mani in modo rigoroso..
Vorrei partire dallo studio del termine generale della successione $a_n$, quindi prendo il termine generale e ne faccio il limite..e poi?
$\sum_{n=0}^infty (alpha+((-1)^n)/2)^n$
In particolare devo studiarne il carattere al variare di $alpha$
il problema è che ho provato a ragionare intuitivamente provando un po' di $alpha$ tipo 0, 1 eccecc e alla fine ho ottenuto che forse la serie converge se $-1/2
Tuttavia non riesco a metterci le mani in modo rigoroso..
Vorrei partire dallo studio del termine generale della successione $a_n$, quindi prendo il termine generale e ne faccio il limite..e poi?
Risposte
mmm..la butto lì..
Potremmo studiare l'assoluta convergenza della serie, dunque
$ sum_(n = 1) ^(+oo) |(alpha + (-1)^n/2)^n| $
In modo da togliere (non so se sia corretto) il $ -1 $ e quindi dovremmo studiare la serie
$ sum_(n = 1) ^(+oo) (alpha + 1/2)^n $
La possiamo risolvere con il criterio della radice, quindi :
$ lim_(n->+oo) alpha + 1/2 = alpha + 1/2 $
Per il criterio della radice , una serie converge solo se il precendente limite è $ < 1 $ , allora $ alpha + 1/2 < 1 hArr alpha < 1/2 $
Dunque l'assoluta convergenza è verificata per $ alpha < 1/2 $, quindi la serie converge anche semplicemente.
Potremmo studiare l'assoluta convergenza della serie, dunque
$ sum_(n = 1) ^(+oo) |(alpha + (-1)^n/2)^n| $
In modo da togliere (non so se sia corretto) il $ -1 $ e quindi dovremmo studiare la serie
$ sum_(n = 1) ^(+oo) (alpha + 1/2)^n $
La possiamo risolvere con il criterio della radice, quindi :
$ lim_(n->+oo) alpha + 1/2 = alpha + 1/2 $
Per il criterio della radice , una serie converge solo se il precendente limite è $ < 1 $ , allora $ alpha + 1/2 < 1 hArr alpha < 1/2 $
Dunque l'assoluta convergenza è verificata per $ alpha < 1/2 $, quindi la serie converge anche semplicemente.
La condizione necessaria di convergenza è verificata se e solo se
\[
\begin{cases}
\left|\alpha+\frac{1}{2}\right| < 1,\\
\left|\alpha-\frac{1}{2}\right| < 1,
\end{cases}
\]
vale a dire se e solo se \(\alpha\in (-1/2, 1/2)\).
Per tali valori di \(\alpha\), detto \(a_n\) il termine generale, si ha anche che \(\limsup_n \sqrt[n]{|a_n|} < 1\), dunque...
\[
\begin{cases}
\left|\alpha+\frac{1}{2}\right| < 1,\\
\left|\alpha-\frac{1}{2}\right| < 1,
\end{cases}
\]
vale a dire se e solo se \(\alpha\in (-1/2, 1/2)\).
Per tali valori di \(\alpha\), detto \(a_n\) il termine generale, si ha anche che \(\limsup_n \sqrt[n]{|a_n|} < 1\), dunque...
@Oirama 92 in tutta onestà non ho capito il tuo metodo.. XD
@Rigel
Rettifico quello che avevo scirtto prima..ho capito le condizioni, scusa per il momentaneo momento di stupidità acuta..
Ok nel momento in cui ho trovato valori di $alpha$ per cui la serie converge
1) come faccio a sapere con certezza dove diverge, se diverge, e dove oscilla, se oscilla
2)L'esercizio mi richiede di calcolare la somma dellla successione, e non ho proprio idea di come fare, insomma mi verebba de pensare a una serie geometrica però c'è la separazione tra $n$ pari e $n$ dispari che mi fa desistere
@Rigel
Rettifico quello che avevo scirtto prima..ho capito le condizioni, scusa per il momentaneo momento di stupidità acuta..
Ok nel momento in cui ho trovato valori di $alpha$ per cui la serie converge
1) come faccio a sapere con certezza dove diverge, se diverge, e dove oscilla, se oscilla
2)L'esercizio mi richiede di calcolare la somma dellla successione, e non ho proprio idea di come fare, insomma mi verebba de pensare a una serie geometrica però c'è la separazione tra $n$ pari e $n$ dispari che mi fa desistere
Definisci
\[
\beta := \max\left\{ \left|\alpha - \frac{1}{2}\right|\,,\, \left|\alpha + \frac{1}{2}\right|\right\}.
\]
Chiaramente \(\beta > 0\); inoltre si ha che \(\beta < 1\) se e solo se \(\alpha \in (-1/2, 1/2)\).
Se \(\beta \geq 1\) è sempre possibile trovare una sottosuccessione di \((a_n)\) che non converge a \(0\) (dunque la serie non è convergente); tale sottosuccessione è \((a_{2n})\) se \(\alpha \geq 1/2\), mentre è \((a_{2n+1})\) se \(\alpha \leq -1/2\).
D'altra parte, se \(\beta < 1\) la serie è convergente, in quanto \(|a_n| \leq \beta^n\) per ogni \(n\).
\[
\beta := \max\left\{ \left|\alpha - \frac{1}{2}\right|\,,\, \left|\alpha + \frac{1}{2}\right|\right\}.
\]
Chiaramente \(\beta > 0\); inoltre si ha che \(\beta < 1\) se e solo se \(\alpha \in (-1/2, 1/2)\).
Se \(\beta \geq 1\) è sempre possibile trovare una sottosuccessione di \((a_n)\) che non converge a \(0\) (dunque la serie non è convergente); tale sottosuccessione è \((a_{2n})\) se \(\alpha \geq 1/2\), mentre è \((a_{2n+1})\) se \(\alpha \leq -1/2\).
D'altra parte, se \(\beta < 1\) la serie è convergente, in quanto \(|a_n| \leq \beta^n\) per ogni \(n\).
Ma come faccio a trovare uno standard prendendo le sottosuccessioni?
Insomma in base a che se $beta>1$ allora è sempre possibile trovare una sottosuccessione di $a_n$ che non converge a 0?
In base a che?
Come si dimostra?
E sopratutto come mi fa a venire in mente proprio $a_(2n)$?
E come è possibile $|a_n|<(beta)^n$ se $beta=(alpha+((-1)^n)/2)^n$?
Al massimo sono uguali o no?
Sono confuso all'ennesimo grado... 
Insomma in base a che se $beta>1$ allora è sempre possibile trovare una sottosuccessione di $a_n$ che non converge a 0?
In base a che?
Come si dimostra?
E sopratutto come mi fa a venire in mente proprio $a_(2n)$?
E come è possibile $|a_n|<(beta)^n$ se $beta=(alpha+((-1)^n)/2)^n$?
Al massimo sono uguali o no?
Sono confuso all'ennesimo grado...
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Ma come faccio a trovare uno standard prendendo le sottosuccessioni?
Insomma in base a che se $beta>1$ allora è sempre possibile trovare una sottosuccessione di $a_n$ che non converge a 0?
In base a che?
Come si dimostra?
Ti ho scritto esplicitamente le sottosuccessioni; basta fare una verifica. Se dici di aver già visto "a occhio" cosa succede al termine generale della serie, non capisco come mai tu sia così sorpreso da questo fatto.
E come è possibile $|a_n|<(beta)^n$ se $beta=(alpha+((-1)^n)/2)^n$?
Al massimo sono uguali o no?
Se leggi il mio messaggio precedente, ho scritto \(|a_n| \leq \beta^n\), non \(|a_n| < \beta^n\). E \(\beta\) non è quello che hai scritto tu, ma è il numero che ho definito nel precedente messaggio.
Per chiarirti le idee, prova a fissare dei valori di \(\alpha\), come ad esempio \(0, 1, -1\), e vedere cosa succede.
Ok, quello che dicevo è che all'inizio per approcciarmi all'esercizio ho fissato arbitrariamente dei valori di $alpha$ e visto più o meno cosa succedeva al termine generale..sono sorpreso perchè speravo in uno studio più rigoroso..nel senso che magari sotto esame posso pure provare valori a caso per vedere che succede ma non sono affatto sicuro che mi vengano in mente delle sottosuccessioni adatte (tant'è vero che me le hai suggerite tu..) per cui mi chiedevo non esiste un procedimento più rigoroso?
Insomma quando ti trovi davanti un esercizio del genere parti subito a cercare sottosuccessioni? Si provano valori a caso di $alpha$?
Esiste un modo standard per scrivere le sottosuccessioni adatte? Per esempio il termine generale della serie poteva essere molto più lungo, seccante e difficile, avresti trovato lo stesso le sottosuccessioni?
Insomma quando ti trovi davanti un esercizio del genere parti subito a cercare sottosuccessioni? Si provano valori a caso di $alpha$?
Esiste un modo standard per scrivere le sottosuccessioni adatte? Per esempio il termine generale della serie poteva essere molto più lungo, seccante e difficile, avresti trovato lo stesso le sottosuccessioni?
Il procedimento che ti ho descritto è assolutamente rigoroso.
Magari tu intendevi più meccanico? In tal caso, purtroppo esistono problemi che richiedono che ci si pensi sopra e ai quali non si applica un procedimento completamente standard.
Magari tu intendevi più meccanico? In tal caso, purtroppo esistono problemi che richiedono che ci si pensi sopra e ai quali non si applica un procedimento completamente standard.
mmmm ma in che modo si possono estrare le sottosuccessioni senza sbagliare allora?
Mi hai suggerito le successioni ma non il modo in cui trovarle?
Scusa se insisto ma credo di avere ancora dei problemi a capire l'esercizio e vorrei farlo per bene
Faccio un altro esempio perchè ancora non capisco, prendo un'altra serie a caso da studiare al variare di $alpha$
$\sum_{n=1}^infty (-1)^n(sinalpha)^n\ $
Dunque io ragiono in questo modo
$\sum_{n=1}^infty (-sinalpha)^n\ $
Ora provando un po' di $alpha$ e facendo conclusioni sulla disparità e parità di $n$ concludo che
se $0
se $alpha=-pi/2$ allora la serie oscilla
Il libro tuttavia non è daccordo con la mia conclusione perchè dice che se $alpha$ è diverso da $pi/2+kpi$ allora converge..ma io mi chiedo come è possibile?
Mi hai suggerito le successioni ma non il modo in cui trovarle?
Scusa se insisto ma credo di avere ancora dei problemi a capire l'esercizio e vorrei farlo per bene
Faccio un altro esempio perchè ancora non capisco, prendo un'altra serie a caso da studiare al variare di $alpha$
$\sum_{n=1}^infty (-1)^n(sinalpha)^n\ $
Dunque io ragiono in questo modo
$\sum_{n=1}^infty (-sinalpha)^n\ $
Ora provando un po' di $alpha$ e facendo conclusioni sulla disparità e parità di $n$ concludo che
se $0
se $alpha=-pi/2$ allora la serie oscilla
Il libro tuttavia non è daccordo con la mia conclusione perchè dice che se $alpha$ è diverso da $pi/2+kpi$ allora converge..ma io mi chiedo come è possibile?
Quando hai sostituito dei valori di \(\alpha\) e hai cercato di capire cosa succede, immagino tu ti sia accorto che avvengono cose diverse per \(n\) pari e per \(n\) dispari (d'altra parte questo avviene spesso quando nel termine generale compare qualcosa come \((-1)^n\)). Se ti sei accorto di questo, dovrebbe essere chiaro che può essere utile cercare di capire cosa succede alla sottosuccessione dei termini pari e a quella dei termini dispari (anche se, a posteriori, questa analisi potrebbe risultare inutile; in tal caso si è solo perso un po' di tempo).
Ho modificato il messaggio precedente perchè mi ero accorto di un errore, dunque io faccio sempre così esaminando il caso n pari e n dispari, ma se le due successioni hanno limiti diversi la serie oscilla per forza mentre il libro dice chiaramente che la serie converge per tutti i valori di $alpha$ tranne $pi/2+kpi$ e questo mi sembra impossibile
Quando il seno è positivo per esempio, avrò una successione del tipo $(-beta)^n$ dove $beta$ è una quantità positiva, la somma dei termini di tale successione, cioè la serie, non può che essere oscillante perchè anche se il limite del termine generale tende a 0 la successione non è definitivamente positiva ma ha segno alterno a seconda della parità o disparità di n...
Così ho ragionato ma evidentemente ho mancato qualcosa XD
Così ho ragionato ma evidentemente ho mancato qualcosa XD
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Faccio un altro esempio perchè ancora non capisco, prendo un'altra serie a caso da studiare al variare di $alpha$
$\sum_{n=1}^infty (-1)^n(sinalpha)^n\ $
Dunque io ragiono in questo modo
$\sum_{n=1}^infty (-sinalpha)^n\ $
Questa è una serie geometrica di ragione \(q = -\sin\alpha\); dovresti sapere che tale serie converge (assolutamente) se e solo se \(|q| < 1\), mentre non converge per gli altri valori di \(q\).
In questo caso, vista la particolare forma di \(q\), hai che la serie non converge per i valori di \(\alpha\) tali che \(|\sin\alpha| = 1\), mentre converge per tutti gli altri valori di \(\alpha\).
Caspita!
Scusa Rigel! Ti ho fatto perder tempo per una sciochezza, avevo del tutto rimosso alcune cose sulle serie geometriche!
E dire che pochi giorni fa avevo fatto pure degli esercizi sulle serie geometriche..
Grazie mille per la pazienza ora ho capito perfettamente
Scusa Rigel! Ti ho fatto perder tempo per una sciochezza, avevo del tutto rimosso alcune cose sulle serie geometriche!
E dire che pochi giorni fa avevo fatto pure degli esercizi sulle serie geometriche..
Grazie mille per la pazienza ora ho capito perfettamente
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