Problemi con un paio di esercizi.. :(
Allora dopodomani ho esame di analisi.. Mi son preso qualche prova d'esame e sto cercando di risolvere TUTTI gli esercizi, in modo da sapere come vanno risolte tutte le tipologie che posso incontrare, però sto avendo problemi con un paio di esercizi di cui non vengo a capo, ve li scrivo:
1)
l'integrale calcolato da 2 a 3 di $(x+2)/(x^2 + 2x - 3)dx $ Ora so che c'è di mezzo il fatto che al numeratore c'è la quasi derivata del denominatore, ho cercato di renderlo in diversi modi, ma anche sapendo la soluzione non capisco i passaggi, mi spiegate come si svolge?
Poi,
2)
$int xe^(-x^3) dx $ calcolato da 0 ad infinito. Mi chiede se è finito e positivo, uguale a meno o + infinito, o a 0.. non riesco a calcolarlo.. perchè facendolo per parti mi vien fuori una roba + rognosa di quella di partenza..
e poi
3)
$lim (e^x - 1 - x)/ x^(2a)$ con x->infinito. Come faccio a trovare alfa in modo che il limite venga finito e diverso da 0??? Trovo spesso problemi di questo tipo ma non so mai trovare alfa e rendere il limite finito..
Grazie mille ragazzi.. Ho bisogno + che altro di sapere cosa fare e come farlo in questi casi, + della semplice soluzione, mi serve una mini spiegazione per sapere come svolgerli.. Grazie!!
1)
l'integrale calcolato da 2 a 3 di $(x+2)/(x^2 + 2x - 3)dx $ Ora so che c'è di mezzo il fatto che al numeratore c'è la quasi derivata del denominatore, ho cercato di renderlo in diversi modi, ma anche sapendo la soluzione non capisco i passaggi, mi spiegate come si svolge?
Poi,
2)
$int xe^(-x^3) dx $ calcolato da 0 ad infinito. Mi chiede se è finito e positivo, uguale a meno o + infinito, o a 0.. non riesco a calcolarlo.. perchè facendolo per parti mi vien fuori una roba + rognosa di quella di partenza..
e poi
3)
$lim (e^x - 1 - x)/ x^(2a)$ con x->infinito. Come faccio a trovare alfa in modo che il limite venga finito e diverso da 0??? Trovo spesso problemi di questo tipo ma non so mai trovare alfa e rendere il limite finito..
Grazie mille ragazzi.. Ho bisogno + che altro di sapere cosa fare e come farlo in questi casi, + della semplice soluzione, mi serve una mini spiegazione per sapere come svolgerli.. Grazie!!
Risposte
Per il primo: la derivata del denominatore è $2x+2$, raccogliendo $\frac{1}{2}$ fuori dalla frazione puoi scrivere:
$\frac{1}{2}(\frac{2x+2}{D(x)} + \frac{2}{D(x)})$, dove $D(x)$ è il denominatore della frazione iniziale
La prima parte è un integrale immediato, per il secondo devi scomporre la frazione in fratti semplici.
$\frac{1}{2}(\frac{2x+2}{D(x)} + \frac{2}{D(x)})$, dove $D(x)$ è il denominatore della frazione iniziale
La prima parte è un integrale immediato, per il secondo devi scomporre la frazione in fratti semplici.
Per il secondo: $\int_{0}^{+\infty}xe^{-x^3}dx=\int_{0}^{1}xe^{-x^3}dx + \int_{1}^{+\infty}xe^{-x^3}dx$
Ora per $x > 1$ risulta $xe^{-x^3} \le xe^{-x^2}$.
Ora, l'integrale fra $1$ e $+\infty$ di $xe^{-x^2}$ fa, se non ho sbagliato i conti, $\frac{1}{2}$, quindi l'integrale della funzione richiesta è minore o uguale a $\frac{1}{2}$ (sempre fra $1$ e $+\infty$).
D'altra parte tale integrale non può essere zero, perché per $x>0$ la funzione $xe^{-x^3}$ è sempre positiva, quindi direi che tale integrale è finito e positivo.
Ora per $x > 1$ risulta $xe^{-x^3} \le xe^{-x^2}$.
Ora, l'integrale fra $1$ e $+\infty$ di $xe^{-x^2}$ fa, se non ho sbagliato i conti, $\frac{1}{2}$, quindi l'integrale della funzione richiesta è minore o uguale a $\frac{1}{2}$ (sempre fra $1$ e $+\infty$).
D'altra parte tale integrale non può essere zero, perché per $x>0$ la funzione $xe^{-x^3}$ è sempre positiva, quindi direi che tale integrale è finito e positivo.
Per il terzo: non è che per caso il limite sia per $x \rightarrow 0$?
"Tipper":
Per il terzo: non è che per caso il limite sia per $x \rightarrow 0$?
no, è proprio ad infinito.. sarà un errore forse? Ce l'ho scritto stampato così..
Ma $x$ tende a $+$ o $-$ $\infty$?
Non ha senso porre $e^x=x^(2alpha)=>x=2alphalnx=>alpha=x/(2lnx)$ ?
"Tipper":
Ma $x$ tende a $+$ o $-$ $\infty$?
$+infty$
Se fai come dice Crook il limite torna $1$, se invece devi determinare un preciso $\alpha \in \mathbb{R}$ non saprei... ovvero mi sembra che quel limite vada a $+\infty$ $\forall \alpha \in \mathbb{R}$.
Guarda ti posto proprio l'immagine dell'esercizio perchè non vorrei star sbagliando a dirti qualcosa:
mhm... non è possibile...
"John_Nash":
Guarda ti posto proprio l'immagine dell'esercizio perchè non vorrei star sbagliando a dirti qualcosa:
Eppure se $x$ tendesse a zero la risposta sarebbe D)... vabbè, sarò io un po' arrugginito in Analisi I...
Allora direi, facendo come ho fatto prima, che è la B.
Si Tipper. Infatti scomponendo il limite in 3 si ottiene $lim_(xrightarrow oo) e^x/x^(2alpha)-lim_(xrightarrow oo)1/x^(2alpha)-lim_(xrightarrow oo)1/x^(2alpha-1)$. Se guardi l'ultimo, viene $1$ se $alpha=1/2$. Anche il penultimo va bene se $alpha=1/2$, perchè fa $0$. Il problema è il primo, perchè va a $+oo$ per $alpha=1/2$. Perciò mi sembra che la soluzione sia quella di Crook; non ci sono $alpha in RR$ che soddisfano la richiesta.
Ma guarda qua per voi dovrebbe essere una cazzata.. se non ce la fate davvero allora posso pensare seriamente che sia sbagliato l'esercizio.. 
Tipper, hai ragione te...
nulla, sbagliato
"Aeon":
nulla, sbagliato
Insomma nessuno lo sa fare quest'ultimo?? Sulla scheda dice cmq che la soluzione è la d..
e allora deve essere per forza il limite a zero!
Certo, deve essere il limite per $x to 0$... se $x to +oo$ l'esponenziale impone che il limite diverga a prescindere da $alpha$...
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