Problemi con un limite

[Lucatecnorete]

Salve a tutti, è la prima volta che scrivo qui (dopo la presentazione). Sto avendo problemi con uno studio di una funzione nel calcolo del limite per x che tende a meno infinito. Non riesco a capire come si arriva al risultato (-1), pur avendo provato vari modi. Si risolve per caso con Taylor?

Ringrazio anticipatamente.

$ lim_(x -> -oo ) (x+1+sqrt(x^2+4x+3)) $

[Antimius]

Ciao e benvenuto
Un modo è quello di tentare di togliere la radice. Come? Ad esempio moltiplicando al numeratore e al denominatore per $(x+1)-\sqrt{x^2+4x+3}$. Ottieni una frazione che dovresti saper gestire.

[Lucatecnorete]

Ciao e grazie per la risposta, avevo provato già questa strada varie volte, senza riuscire a risolverlo. Alla fine sono arrivato alla soluzione facendo lo stesso passaggio, escludendo però il +1, cioè così:

$ 1+lim_(x -> -oo ) ((-x+sqrt(x^2+4x+3))(x+sqrt(x^2+4x+3)))/(-x+sqrt(x^2+4x+3)) $

Ecco tutta la risoluzione:

$ 1+lim_(x -> -oo ) (4x+3)/(-x+sqrt(x^2+4x+3)) $

$ 1+lim_(x -> -oo ) (3)/(-x+sqrt(x^2(1+4/x+3/x^2)))+ lim_(x -> -oo ) (4)/(-1+sqrt(x^2+4x+3)/x) $

$ 1+lim_(x -> -oo ) (3)/(-(-oo )+sqrt((-oo)^2))+ lim_(x -> -oo ) (4)/(-1+sqrt(x^2+4x+3)/x) $

$ 1+0+ lim_(x -> -oo ) (4)/(-1+sqrt(x^2+4x+3)/x) $

Ora, l'errore che commettevo sta qui: quando andavo a portare la x della frazione del denominatore nella radice non cambiavo di segno. Dovevo fare invece così:

$ lim_(x -> -oo )sqrt(x^2+4x+3)/x =lim_(x->-oo)-sqrt((x^2+4x+3)/x^2) = lim_(x->-oo)-sqrt((1+4/x+3/x^2) $

Quindi

$ 1+ (4)/(-1-1)=1-2=-1 $