Problemi con studio di funzioni
Salve a tutti.. Trovo difficoltà con lo studio di questa funzione:
f(x)=
1-x^3, se x<0
||x|+3|, se 0<=x<1
sqrt(x+3), se x>=1
Di questa funzione dovrei determinare l'insieme di definizione, di continuità e di derivabilità, gli intervalli di monotonia, ecc...
Riguardo l'insieme di definizione, o campo di esistenza, devo porre solo una condizione, e cioè x+3>0 -> x>-3. Vero?
Non capisco come fare, visto che è presente un doppio valore assoluto..
f(x)=
1-x^3, se x<0
||x|+3|, se 0<=x<1
sqrt(x+3), se x>=1
Di questa funzione dovrei determinare l'insieme di definizione, di continuità e di derivabilità, gli intervalli di monotonia, ecc...
Riguardo l'insieme di definizione, o campo di esistenza, devo porre solo una condizione, e cioè x+3>0 -> x>-3. Vero?
Non capisco come fare, visto che è presente un doppio valore assoluto..
Risposte
$f(x)={(1-x^3,if x<0),(||x|+3|,if 0<=x<1),(sqrt(x+3), if x>=1):}$
$1-x^3$ è definito in $RR$ ma qui ci si limita nell'intervallo $(-infty,0)$
$||x|+3|$ è definito in $RR$ ma qui ci si limita nell'intervallo $[0,1)$
$sqrt(x+3)$ è definito per valori di $x>=-3$ ma qui ci si limita a $[1,+infty)$
L'insieme di definizione di f è $A=RR=(-infty,+infty)$
Per la continuità, dobbiamo studiarne nei punti in cui f potrebbe essere non continua ovvero in 0 e 1.
$\lim_{x \to \0^-}(1-x^3)=1$
$\lim_{x \to \0^+}||x|+3|=3$
In $x=0$ f non è continua, presenta una discontinuità di prima specie.
$\lim_{x \to \1^-}||x|+3|=4$
$\lim_{x \to \1^+}sqrt(x+3)=4$
In $x=1$ è continua.
L'insieme di continuità è $B=A-{0}$
Se $x!=0$ (attenzione in tale punto la funzione non è continua, quindi non potrà essere derivabile) e $x!=1$:
$f'(x)={(-3x^2,if x<0),((||x|+3|/(|x|+3))*|x|/x,if 01):}$
Per vedere se in $x=1$ è derivabile fai il limite destro e sinistro di f' e noterai che in x=1 f non è derivabile.
L'insieme di derivabilità è $C=A-{0,1}$
Per la monotonia studi il segno nei tre intervalli con il quadro dei segni.
$1-x^3$ è definito in $RR$ ma qui ci si limita nell'intervallo $(-infty,0)$
$||x|+3|$ è definito in $RR$ ma qui ci si limita nell'intervallo $[0,1)$
$sqrt(x+3)$ è definito per valori di $x>=-3$ ma qui ci si limita a $[1,+infty)$
L'insieme di definizione di f è $A=RR=(-infty,+infty)$
Per la continuità, dobbiamo studiarne nei punti in cui f potrebbe essere non continua ovvero in 0 e 1.
$\lim_{x \to \0^-}(1-x^3)=1$
$\lim_{x \to \0^+}||x|+3|=3$
In $x=0$ f non è continua, presenta una discontinuità di prima specie.
$\lim_{x \to \1^-}||x|+3|=4$
$\lim_{x \to \1^+}sqrt(x+3)=4$
In $x=1$ è continua.
L'insieme di continuità è $B=A-{0}$
Se $x!=0$ (attenzione in tale punto la funzione non è continua, quindi non potrà essere derivabile) e $x!=1$:
$f'(x)={(-3x^2,if x<0),((||x|+3|/(|x|+3))*|x|/x,if 0
Per vedere se in $x=1$ è derivabile fai il limite destro e sinistro di f' e noterai che in x=1 f non è derivabile.
L'insieme di derivabilità è $C=A-{0,1}$
Per la monotonia studi il segno nei tre intervalli con il quadro dei segni.
Grazie veramente per l'aiuto 
Ho alcune domande...
$ \lim_{x \to \1^+}sqrt(x+3) $ non è 2? Quindi la funzione è anche discontinua per $ x=1 $? L'insieme di continuità e di derivabilità non sono quindi uguali?
Visto che per $ ||x|+3| $ ci troviamo in $ x>=0 $ (sempre positivo), non è possibile eliminare il valore assoluto facendo $ |x|=x $?
Riguardo gli intervalli di monotonia, potreste gentilmente farmi un esempio di come calcolarli in questa funzione?
Grazie ancora per l'aiuto
Ho alcune domande...
$ \lim_{x \to \1^+}sqrt(x+3) $ non è 2? Quindi la funzione è anche discontinua per $ x=1 $? L'insieme di continuità e di derivabilità non sono quindi uguali?
Visto che per $ ||x|+3| $ ci troviamo in $ x>=0 $ (sempre positivo), non è possibile eliminare il valore assoluto facendo $ |x|=x $?
Riguardo gli intervalli di monotonia, potreste gentilmente farmi un esempio di come calcolarli in questa funzione?
Grazie ancora per l'aiuto
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