Problemi con serie di Laurent
Salve ragazzi, è il mio primo messaggio nel Forum, quindi vi prego non linciatemi se dico qualche castroneria! 
Sto studiando Fisica Matematica e nel compito scritto proposto dal mio professore ci sono le solite cose...
Ho già utilizzato da visitatore il forum per imparare un po' a scrivere la Serie di Laurent di una funzione, ma in questo caso mi sto trovando un po' in difficoltà. La funzione proposta è:
$ f(z) = (sen (z))/(z^3(z-4)) $
Ovviamente lo studio delle singolarità mi porta innanzitutto a capire che z=0 e z=4 sono poli, rispettivamente del secondo e del primo ordine. Il proseguio dell'esercizio mi porta a calcolare i residui della funzione in tali punti.
Per quanto riguarda il polo semplice è abbastanza immediato (utilizzo la formula con il limite ed è fatta), trovo un po' di difficoltà nell'eseguire il calcolo per il polo doppio.
Sono già arrivato alla soluzione utilizzando appunto la formula:
$ lim_(x -> 0) d/dz (f(z)*z^2) $
Ma essendo risultato alquanto lungo il calcolo tramite derivate ho voluto provare con la Serie di Laurent.
Sono arrivato a questo:
$ f(z) = 1/((z^3)(z-4))*sum_(n = \0) (-1)^n*z^(2n+1)/((2n+1)!) $
Andando poi a imporre che |z| < 4, ed utilizzando lo sviluppo della serie geometrica trovo:
$ f(z) =[sum_(n = \0)(-1)^n*z^(2n-2)/((2n+1)!)]*(-1)*[sum_(n = \0)(z^n)/(4^(n+1))] $
Diciamo che andando a sviluppare i primi termini del prodotto tra sommatorie arrivo a trovare i valori ricercati e quindi il Residuo di f(z) in 0, ma mi pare un procedimento alquanto contorto e vorrei capire se sto sbagliando qualcosa o come posso semplificare il tutto!
Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille in anticipo!
Sto studiando Fisica Matematica e nel compito scritto proposto dal mio professore ci sono le solite cose...
Ho già utilizzato da visitatore il forum per imparare un po' a scrivere la Serie di Laurent di una funzione, ma in questo caso mi sto trovando un po' in difficoltà. La funzione proposta è:
$ f(z) = (sen (z))/(z^3(z-4)) $
Ovviamente lo studio delle singolarità mi porta innanzitutto a capire che z=0 e z=4 sono poli, rispettivamente del secondo e del primo ordine. Il proseguio dell'esercizio mi porta a calcolare i residui della funzione in tali punti.
Per quanto riguarda il polo semplice è abbastanza immediato (utilizzo la formula con il limite ed è fatta), trovo un po' di difficoltà nell'eseguire il calcolo per il polo doppio.
Sono già arrivato alla soluzione utilizzando appunto la formula:
$ lim_(x -> 0) d/dz (f(z)*z^2) $
Ma essendo risultato alquanto lungo il calcolo tramite derivate ho voluto provare con la Serie di Laurent.
Sono arrivato a questo:
$ f(z) = 1/((z^3)(z-4))*sum_(n = \0) (-1)^n*z^(2n+1)/((2n+1)!) $
Andando poi a imporre che |z| < 4, ed utilizzando lo sviluppo della serie geometrica trovo:
$ f(z) =[sum_(n = \0)(-1)^n*z^(2n-2)/((2n+1)!)]*(-1)*[sum_(n = \0)(z^n)/(4^(n+1))] $
Diciamo che andando a sviluppare i primi termini del prodotto tra sommatorie arrivo a trovare i valori ricercati e quindi il Residuo di f(z) in 0, ma mi pare un procedimento alquanto contorto e vorrei capire se sto sbagliando qualcosa o come posso semplificare il tutto!
Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille in anticipo!
Risposte
Ciao 
Gli sviluppi di Laurent nei poli si comportano in modo molto simile agli sviluppi di Taylor negli zeri, quindi in genere e' la strada piu' breve per calcolare cose come i residui. Se ti sembra contorto portarti dietro tutta la serie, limitati solo ai termini che davvero ti servono per fare il conto: $\frac{\sin z}{z^3(z-4)} = -\frac{(z+O(z^3))(1+z/4+O(z^2))}{4z^3} = -\frac{4+z+O(z^2)}{16z^2}$.
Gli sviluppi di Laurent nei poli si comportano in modo molto simile agli sviluppi di Taylor negli zeri, quindi in genere e' la strada piu' breve per calcolare cose come i residui. Se ti sembra contorto portarti dietro tutta la serie, limitati solo ai termini che davvero ti servono per fare il conto: $\frac{\sin z}{z^3(z-4)} = -\frac{(z+O(z^3))(1+z/4+O(z^2))}{4z^3} = -\frac{4+z+O(z^2)}{16z^2}$.
Innanzitutto grazie coffee!
Letta in questo modo diciamo che risulta decisamente meno lunga operazione ed anche più lineare!
Il problema è che il professore, quando utilizziamo la Serie di Laurent per trovare i residui, vuole espressa sia la parte principale, sia la parte analitica...
Dal calcolo proposto da te, come dal calcolo che ho effettuato io, la parte principale viene fuori abbastanza tranquillamente, è quella analitica che mi preoccupa un po', non trovo il modo di scriverla come serie di centro z=0, se non esplicitamente. Credi ci sia un modo o mi sto facendo solo una pippa mentale?
Letta in questo modo diciamo che risulta decisamente meno lunga operazione ed anche più lineare!
Il problema è che il professore, quando utilizziamo la Serie di Laurent per trovare i residui, vuole espressa sia la parte principale, sia la parte analitica...
Dal calcolo proposto da te, come dal calcolo che ho effettuato io, la parte principale viene fuori abbastanza tranquillamente, è quella analitica che mi preoccupa un po', non trovo il modo di scriverla come serie di centro z=0, se non esplicitamente. Credi ci sia un modo o mi sto facendo solo una pippa mentale?
Non sono sicuro di aver capito quello che dici sullo sviluppo in serie della parte analitica: se mi venisse chiesto di scrivere tutto lo sviluppo in serie di Laurent di questa funzione, probabilmente svilupperei il prodotto delle serie come \[ f(z) = - \sum_{n=-2}^{+\infty} \left(\sum_{k+2m-2=n}\frac{(-1)^m}{(2m+1)!\cdot4^{k+1}}\right) z^n \] ma non penso di riuscire a scrivere la sommatoria tra parentesi in una maniera più espressiva 
Scusami se rispondo solo adesso, ma nel fine settimana non ho messo assolutamente testa allo studio!
Comunque è esattamente quello che mi chiedevo, cioè come diavolo scrivere la Serie di Laurent completa! Diciamo che per far felice il professore a questo punto dovrei solo esplicitare i termini con la z a denominatore e lasciare poi la sommatoria espressa come l'hai scritta tu, solo facendo attenzione a far partire n da 0.
Grazie mille!
Comunque è esattamente quello che mi chiedevo, cioè come diavolo scrivere la Serie di Laurent completa! Diciamo che per far felice il professore a questo punto dovrei solo esplicitare i termini con la z a denominatore e lasciare poi la sommatoria espressa come l'hai scritta tu, solo facendo attenzione a far partire n da 0.
Grazie mille!
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