Problemi con limite di successioni
ciao a tutti.
non riesco a risolvere queste limite:
$\lim_{n\to\infty}n^3(2tan(1/n)-sin(2/n)-e^(-3n))$
l'ultimo termine dovrebbe tendere a zero perchè rapporto di infiniti di ordine crescente; mi impantano sui termini trigonometrici.
ho provato a:
- isolare $n^2$ per utilizzare i limiti notevoli $ntan(1/n)$ e $nsin(a/n)$ ma resta la forma d'indecisione;
- a moltiplicare sopra e sotto i termini $tan(1/n)$ e $sin(2/n)$ per $1/n$ e $2/n$ per utilizzare i limiti notevoli ma resta l'indecisione;
- a scrivere la tangente come rapporto di seno e coseno.
alla fine mi risulta il termine in $n^3$ che moltiplica zero; solo che il limite deve risultare =2.
qualcuno sa darmi soluzioni alternative, o dirmi dove sbaglio?
grazie
non riesco a risolvere queste limite:
$\lim_{n\to\infty}n^3(2tan(1/n)-sin(2/n)-e^(-3n))$
l'ultimo termine dovrebbe tendere a zero perchè rapporto di infiniti di ordine crescente; mi impantano sui termini trigonometrici.
ho provato a:
- isolare $n^2$ per utilizzare i limiti notevoli $ntan(1/n)$ e $nsin(a/n)$ ma resta la forma d'indecisione;
- a moltiplicare sopra e sotto i termini $tan(1/n)$ e $sin(2/n)$ per $1/n$ e $2/n$ per utilizzare i limiti notevoli ma resta l'indecisione;
- a scrivere la tangente come rapporto di seno e coseno.
alla fine mi risulta il termine in $n^3$ che moltiplica zero; solo che il limite deve risultare =2.
qualcuno sa darmi soluzioni alternative, o dirmi dove sbaglio?
grazie
Risposte
vorresti usare solo i limiti notevoli o puoi anche sviluppare con taylor le funzioni trig?
no, direi niente Taylor.
visto che Taylor viene successivamente nel programma, credo che il limite si debba risolvere solo coi limiti notevoli o con le operazioni su infiniti ed infinitesimi.
visto che Taylor viene successivamente nel programma, credo che il limite si debba risolvere solo coi limiti notevoli o con le operazioni su infiniti ed infinitesimi.
non so....mi viene uno come limite....ho ragionato così, chiama $x = 1/n$, così $n->\infty$ implica $x->0$ e
$2 tan x - sin 2x = 2 (sin x )/(cos x) - 2 sin x \ cos x = 2 (sin x )/(cos x) [1- cos^2 x]$
il tutto diventa, ometto a scrittura $lim_(x->0)$ per brevità
$1/(x^3) [ 2 (sin x )/(cos x) [1- cos^2 x] - e^(-3/x) ] = 2/(cos x) * (sin x )/(x) *(1 - cos^2 x)/(x^2) - (e^(-3/x))/(x^3) -> 2 * 1* 1/2 - 0 = 1$
non trovo l'errore....
$2 tan x - sin 2x = 2 (sin x )/(cos x) - 2 sin x \ cos x = 2 (sin x )/(cos x) [1- cos^2 x]$
il tutto diventa, ometto a scrittura $lim_(x->0)$ per brevità
$1/(x^3) [ 2 (sin x )/(cos x) [1- cos^2 x] - e^(-3/x) ] = 2/(cos x) * (sin x )/(x) *(1 - cos^2 x)/(x^2) - (e^(-3/x))/(x^3) -> 2 * 1* 1/2 - 0 = 1$
non trovo l'errore....
occhei
trovato l'inghippo
allora
l'errore è nel termine
$(1 - cos^2 x)/(x^2)$
che io ho detto uguale a 1/2, in realtà
$(1 - cos^2 x)/(x^2) = (1 + cos x)*(1 - cos x)/(x^2) -> 2 * 1/2 = 1$
quindi torna....
trovato l'inghippo
allora
l'errore è nel termine
$(1 - cos^2 x)/(x^2)$
che io ho detto uguale a 1/2, in realtà
$(1 - cos^2 x)/(x^2) = (1 + cos x)*(1 - cos x)/(x^2) -> 2 * 1/2 = 1$
quindi torna....

grazie ille, alle!!
mi sa che dovrei ripassarmi un pò di goniometria

mi sa che dovrei ripassarmi un pò di goniometria
