Problemi con inversa di una funzione...

[milel]

Salve ragazzi sono nuova del forum, volevo proporvi un problema che proprio non riesco a risolvere:

Sia F(x) = log(2-x)/(2-x)

dimostrare che l'inversa di tale funzione può scriversi come A + e^x*B/(1+e^x) dove A e B sono 2 numeri reali da determinare,
ho provato anche ad applicare il teorema riguarda la derivata dell'inversa, applicandolo per ogni valore dell'intervallo di inversione... ma ho concluso poco, secondo me si deve ricorrere a delle approssimazioni, almeno a intuito, ma proprio non sono riuscita.

Qualcuno ha idee?
Grazie

[ciampax]

Mmmmm..... non sebra così semplice. Per prima cosa il dominio di $F$ è $(-\infty,2)$ mentre i suoi limiti agli estremi valgono rispettivamente $0$ e $-\infty$. Inoltre la derivata $F'(x)=\frac{\log(2-x)-1}{(2-x)^2}$ implica la presenza di un massimo nel punto $x=2-e$ in cui la funzione vale $F(2-e)=1/e$.

Ora, ne segue che l'immagine della tua funzione è $(-\infty,1/e)$ e inoltre la funzione non risulta iniettiva e quindi, almeno secondo me, non puoi trovarne una inversa su tutto il suo dominio di definizione!

[milel]

Grazie almeno lo studio di funzione l'ho svolto in maniera corretta
Si è vero non è invertibile in tutto il dominio, ma anche volendo fare l'inversa in una estrizione analiticamente non so da dove cominciare. L'unica cosa si potrebbe ragionare ad intuito e dire che effettivamente quella funzione è l'inversa (o ha la stessa forma) in quanto ha un asintoto orizzontale a 2 (A) ecc.. e tutte le cose che si possono dedurre dall'inversione del dominio (tipo che deve avere un andamento esponenziale su una restrizione del dominio). Il problema resta farlo analiticamente..boh
Grazie cmq

[ciampax]

Mmmmmmmmmmmm....... ci penso su!

[milel]

Grazie per il "pensiero"
Attendo una risposta spero positiva
Grazie ancora.