Problemi con gli integrali impropri
Buonasera, ho alcuni problemi di approccio con degli integrali improprio che, in parole povere, "hanno problemi con l'estremo superiore di integrazione". Vi faccio degli esempi: devo stabilire (senza calcolarli), se questi integrali convergono
i) $\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{1-sin(x)}} dx$ ;
ii) $\int_{0}^{1} \frac{(1-x)^\frac{1}{3}}{\sqrt{1-x^2}} dx$ ;
Come potete vedere gli integrali danno luogo a forme indeterminate per l'estremo superiore di integrazione. Qualcuno riesce a darmi un aiuto?
i) $\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{1-sin(x)}} dx$ ;
ii) $\int_{0}^{1} \frac{(1-x)^\frac{1}{3}}{\sqrt{1-x^2}} dx$ ;
Come potete vedere gli integrali danno luogo a forme indeterminate per l'estremo superiore di integrazione. Qualcuno riesce a darmi un aiuto?
Risposte
C'è un bel teoremino riguardo l'ordine di infinito della funzione integranda che ti permette di stabilire quanto ti serve...
Sei sicuro di aver scritto bene la seconda funzione integranda? Perché messa così non è un integrale improprio, infatti si può scrivere come $1/3sqrt((1-x)/(1+x))$, che è limitata su $[0,1]$.
Forse voleva essere $\frac{(1-x)^(1/3)}{\sqrt{1-x^2}}$...
Eh mi sembra abbastanza probabile....
Si scusate, non mi ha preso bene la scrittura in tex
Cioè?
C'è un bel teoremino riguardo l'ordine di infinito della funzione integranda che ti permette di stabilire quanto ti serve...
Cioè?
"shot22":
Si scusate, non mi ha preso bene la scrittura in tex
C'è un bel teoremino riguardo l'ordine di infinito della funzione integranda che ti permette di stabilire quanto ti serve...
Cioè?
E qui casca l'asino. Voler fare questo tipo di esercizi senza aver letto la teoria non è buona cosa.
E qui casca l'asino. Voler fare questo tipo di esercizi senza aver letto la teoria non è buona cosa.
Gran calma, non saltiamo a conclusioni affrettate. Tu parli di un teorema sull'ordine degli infinitesimi: detto così non mi dice niente. Io di teoremi sugli integrali impropri ho fatto il criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del confronto integrale, criterio della convergenza assoluta e criterio di Abel. Ti riferisci ad uno di questi per caso?
Si sta riferendo al criterio del confronto asintotico, applicato con degli "infiniti campione" opportuni.
Ah ok, il fatto è che non sempre riesco a trovare una funzione con cui fare il confronto. In effetti è una delle cose che trovo più difficili
Quando dicevo gli "infiniti campione" intendevo che molto spesso per risolvere problemi del genere si confronta con un funzione del tipo $1/(x-x_0)^\alpha$ (dove $x_0$ è il punto in cui la funzione non è limitata, solitamente uno degli estremi di integrazione, o entrambi), che ha il vantaggio di essere abbastanza semplice e di sapere quando l'integrale improprio converge e quando no.
Quindi nel caso del primo integrale, che va studiato prima tra 0 e $\pi/2$ e poi tra $\pi/2$ e $\pi$ tu suggeriresti di fare un confronto con una funzione del tipo $\frac{1}{(x-\pi/2)^\alpha}$ ?
"shot22":E qui casca l'asino. Voler fare questo tipo di esercizi senza aver letto la teoria non è buona cosa.
Gran calma, non saltiamo a conclusioni affrettate. Tu parli di un teorema sull'ordine degli infinitesimi: detto così non mi dice niente. Io di teoremi sugli integrali impropri ho fatto il criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del confronto integrale, criterio della convergenza assoluta e criterio di Abel. Ti riferisci ad uno di questi per caso?
Cosa strana, avrebbe dovuto dirti qualcosa, visto che solo uno di questi procede per confronto con infinitesimi ed infiniti.
In ogni caso, il metodo pratico che ti permette di determinare l'ordine di infinitesimo/infinito passa attraverso i limiti notevoli ed il confronto asintotico classico (quello che usi nei limiti, per intenderci). Ad esempio, nel primo, sappiamo che il problema si ha in $x=\pi/2$. Per analizzare il comportamento della funzione seno vicino tale punto, puoi considerare il cambiamento di variabile $x=\pi/2-t$ (per cui ora $t\to 0$ e avere
$$\sin x=\sin(\pi/2-t)=\cos t\sim 1-\frac{t^2}{2}$$
da cui
$$\sqrt{1-\sin x}\sim\sqrt{1-1+\frac{t^2}{2}}=\frac{|t|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|x-\frac{\pi}{2}\right|$$
Pertanto la funzione integranda ha ordine di infinito $1$ (ricorda che devi portare tutto a denominatore) e quindi l'integrale non converge (il ragionamento destra/sinistra risulta identico, nota il valore assoluto).
Riusciresti a risolvere l'altro?
Intanto ti ringrazio per l'aiuto, ho capito il modo in cui hai risolto l'esercizio. Ma come faccio a capire quale sostituzione è la più comoda? E' solo questione di esercizio?
Per il secondo io ho fatto così:
Intanto ho riscritto l'integrale iniziale come $\int_{0}^{1} \frac{(1-x)^{5/2}}{\sqrt{1+x}}$. Poi ho utilizzato il criterio del confronto asintotico con $f(x) = \frac{(1-x)^{5/2}}{\sqrt{1+x}}$ e $g(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$. Essendo $lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \ne 0$ allora l'integrale iniziale converge se e solo se converge $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x}}$. Ma $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x}} \le \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{1/2}} < \infty$ perchè $1/2 < 1$. Quindi l'integrale converge.
Per il secondo io ho fatto così:
Intanto ho riscritto l'integrale iniziale come $\int_{0}^{1} \frac{(1-x)^{5/2}}{\sqrt{1+x}}$. Poi ho utilizzato il criterio del confronto asintotico con $f(x) = \frac{(1-x)^{5/2}}{\sqrt{1+x}}$ e $g(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$. Essendo $lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \ne 0$ allora l'integrale iniziale converge se e solo se converge $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x}}$. Ma $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x}} \le \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{1/2}} < \infty$ perchè $1/2 < 1$. Quindi l'integrale converge.
Bé sì, diciamo che è una questione di "occhio". In generale, cosa buona e giusta se non riesci a vedere da subito come effettuare il confronto, ti conviene riportare sempre il punto a coincidere con lo zero, visto che tutte le "similitudini" per confronto asintotico vengono fuori dai limiti notevoli.
Per il secondo esercizio, avrei un dubbio. la funzione integranda, da quanto vedo, puoi scriverla in questo modo
$$f(x)=\frac{(1-x)^{1/3}}{(1-x)^{1/2}\cdot(1+x)^{1/2}}=\frac{1}{(1-x)^{1/6}\cdot(1+x)^{1/2}}$$
e confrontandola per $x\to 1$ si ha
$$f(x)\sim\frac{1}{\sqrt{2}(1-x)^{1/6}}$$
e dal momento che $1/6<1$ l'integrale converge.
Non capisco come tu abbia tirato fuori quel $5/2$...
Per il secondo esercizio, avrei un dubbio. la funzione integranda, da quanto vedo, puoi scriverla in questo modo
$$f(x)=\frac{(1-x)^{1/3}}{(1-x)^{1/2}\cdot(1+x)^{1/2}}=\frac{1}{(1-x)^{1/6}\cdot(1+x)^{1/2}}$$
e confrontandola per $x\to 1$ si ha
$$f(x)\sim\frac{1}{\sqrt{2}(1-x)^{1/6}}$$
e dal momento che $1/6<1$ l'integrale converge.
Non capisco come tu abbia tirato fuori quel $5/2$...
Ops scusa ho scritto la soluzione di un esercizio diverso 
. In ogni caso il procedimento è il medesimo, quindi mi basta questo.
[Modifica] aspetta un attimo, perchè mi ha fatto venire un dubbio sulla mia soluzione. Tralasciando il fatto che l'integrale che ho scritto io è un altro, è un errore dire che converge confrontando per $x\to 0$? Perchè la forma indeterminata si ha per $x\to 1$, quindi il confronto andarebbe fatto, come hai proposto te, per $x\to 1$.
Cosa intendi?
. In ogni caso il procedimento è il medesimo, quindi mi basta questo.[Modifica] aspetta un attimo, perchè mi ha fatto venire un dubbio sulla mia soluzione. Tralasciando il fatto che l'integrale che ho scritto io è un altro, è un errore dire che converge confrontando per $x\to 0$? Perchè la forma indeterminata si ha per $x\to 1$, quindi il confronto andarebbe fatto, come hai proposto te, per $x\to 1$.
ti conviene riportare sempre il punto a coincidere con lo zero
Cosa intendi?
Nell'esercizio che hai proposto tu neanche ci stanno problemi, a guardarlo meglio. Mi diresti quale era la traccia originale?
In ogni caso l'analisi la devi fare nel punto in cui si presenta il problema. Quello che intendevo è che, se non sei molto pratico di lavorare con punti diversi da zero (dove di solito sono definiti i limiti notevoli) ti conviene operare un cambio di variabile (tipo quello che ho fatto nel primo esercizio) e poi lavorare su ciò che ottieni.
In ogni caso l'analisi la devi fare nel punto in cui si presenta il problema. Quello che intendevo è che, se non sei molto pratico di lavorare con punti diversi da zero (dove di solito sono definiti i limiti notevoli) ti conviene operare un cambio di variabile (tipo quello che ho fatto nel primo esercizio) e poi lavorare su ciò che ottieni.
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