Problemi con gli indici

[nifelheim]

Ragazzi vorrei chiedervi un aiuto
Ho dei problemi a comprendere la notazione simbolica, farò qualche esempio in modo da far comprendere cosa non mi è completamente chiaro.

1)
Consideriamo la relazione E,ij = T,ijrs ∙ M,rs (con Eij e Mrs tensori doppi e Tijrs tensore quadruplo).
Che forma hanno le equazioni in forma esplicita?

2)
Consideriamo la relazione
a,ik ∙ δ,km = a,im (con δ,km delta di Kronecker)
Questa scrittura equivale ad affermare che gli elementi di a sono diversi da zero per i=m?

3)
consideriamo la relazione presente tra il simbolo di Levi-Civita e il delta di Kronecker
ε,ijk ∙ ε,imn = δ,jm∙ δ,kn – δ,jn∙δ,km

Come si scrivono in forma esplicita le equazioni quando compaiono (come nel caso del prodotto δ,jm∙ δ,kn) quattro pedici diversi?

Vi rigrazio per la pazienza
Luca[/tex]

[gugo82]

"Navier":Ragazzi vorrei chiedervi un aiuto
Ho dei problemi a comprendere la notazione simbolica, farò qualche esempio in modo da far comprendere cosa non mi è completamente chiaro.

1)
Consideriamo la relazione E,ij = T,ijrs ∙ M,rs (con Eij e Mrs tensori doppi e Tijrs tensore quadruplo).
Che forma hanno le equazioni in forma esplicita?

Direi:

[tex]$E_{ij}=\sum_{r,s=1}^4 T_{ijrs} M_{rs}=\sum_{s=1}^4T_{ij1s} M_{1s}+\sum_{s=1}^4T_{ij2s} M_{2s}+\sum_{s=1}^4T_{ij3s} M_{3s} +\sum_{s=1}^4T_{ij4s} M_{4s}$[/tex].

"Navier":2)
Consideriamo la relazione
a,ik ∙ δ,km = a,im (con δ,km delta di Kronecker)
Questa scrittura equivale ad affermare che gli elementi di a sono diversi da zero per i=m?

No, equivale a dire che la somma a primo membro selezione l'elemento d'indici [tex]$i,m$[/tex] in [tex]$a_{ik}$[/tex]: infatti [tex]\sum_{i=1}^Na_{ik} \delta_{km}=a_{im}\delta_{mm}=a_{im}[/tex].

"Navier":3)
consideriamo la relazione presente tra il simbolo di Levi-Civita e il delta di Kronecker
ε,ijk ∙ ε,imn = δ,jm∙ δ,kn – δ,jn∙δ,km

Come si scrivono in forma esplicita le equazioni quando compaiono (come nel caso del prodotto δ,jm∙ δ,kn) quattro pedici diversi?

Beh, direi:

[tex]$\sum_{i=0}^N \epsilon_{ijk} \epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}$[/tex],

perchè al primo membro c'è un unico indice ripetuto (che denota una somma), mentre al secondo membro non ce ne sono (quindi non c'è nessuna somma).

[nifelheim]

Si, ho capito che l'indice ripetuto equivale ad affermare che è presente una sommatoria. Però la mia domanda è un'altra: Se dovessi esplicitare le equazioni (facciamo ad esempio δ,jm∙ δ,kn), come dovrei scrivere il sistema di equazioni senza questi benedetti indici?

Altra questione: qual'è la rappresentazione in forma matriciale dell'espressione $a_{jm}*\delta_{mk} ?

[gugo82]

"Navier":Si, ho capito che l'indice ripetuto equivale ad affermare che è presente una sommatoria. Però la mia domanda è un'altra: Se dovessi esplicitare le equazioni (facciamo ad esempio δ,jm∙ δ,kn), come dovrei scrivere il sistema di equazioni senza questi benedetti indici?

Infatti nell'esempio che citi non c'è nulla da esplicitare: visto che non c'è indice ripetuto, [tex]$\delta_{jm}\delta_{kn}$[/tex] è un semplice prodotto di numeri reali.
Ritenta.

"Navier":Altra questione: qual'è la rappresentazione in forma matriciale dell'espressione $a_{jm}*\delta_{mk} ?

Visto che c'è un solo indice ripetuto, per fissati [tex]$j,k$[/tex] quella che indichi è una somma; se vuoi usare le matrici, quella somma individua il termine d'indici [tex]$jk$[/tex] del prodotto di [tex]$A=(a_{jm})$[/tex] per [tex]$I=(\delta_{mk})$[/tex], ossia [tex]$a_{jk}$[/tex].


P.S.: Si scrive "qual è", senza apostrofo ché non c'è elisione.

[nifelheim]

Infatti nell'esempio che citi non c'è nulla da esplicitare

Vediamo se ho capito bene: $\delta_{ij}*\delta_{rs}$ equivale a moltiplicare ogni singolo elemento di $\delta_{ij}$ per ogni singolo elemento di $\delta_{rs}$ senza che sia presente alcuna sommatoria?

Cioè ad esempio $\delta_{11}*\delta_{11}$ ; $\delta_{11}*\delta_{12}$; $\delta_{11}*\delta_{13}$ ecc ecc?