Problemi con funzione integrale
Salve a tutti, sono uno studente che sta preparando analisi 1.
mi sono imbattuto in questo esercizio:
- Si determini una funzione F tale che:
\[ F'(x)= \frac{2+cos^2x}{1+cos^2x}tanx \] e contemporaneamente \[ F(0)=0 \]
Quindi dovrei integrare F'(x) e trovare la primitiva F(x)+c che risolva l'equazione F(0)=0.
Per prima cosa ho provato semplicemente a calcolarmi l'integrale di F'(X), ma sono arrivato ad un punto in cui penso che l'unica soluzione possibile sia utilizzare la scomposizione in frazioni parziali con il teorema di Hermite. La difficolta sta nella scomposizione di un polinomio di grado elevato con radici complesse, cosa che, essendo questo un esercizio d'esame e da svolgersi in 30 minuti, mi fa pensare che questa non sia la strada giusta.
Allora ho di guardare l'esercizio al contrario, la prima equazione può essere pensata come la derivata di un integrale definito \(\int_{0}^{g(x)} \) con g(x) una funzione la cui derivata è tanx ovvero \[F'(g(x)) g'(x) -F(0)0 \text { } \text {ovvero} \text { } F'(ln(cosx))tanx \]
e svolgendo qualche calcolo ho trovato questa primitiva
\[ F'(x)= \frac{2+cos^2x}{1+cos^2x}tanx =(1+ \frac{1}{1+cos^2x})tanx \rightarrow F(x)= \int_{0}^{ln(cosx)} 1+ \frac{1}{1+cos^2(arccos(e^t)} dt \] calcolato in zero \(\rightarrow F(0)=0 \)
Quindi derivando F(x) grazie al teorema fondamentale del calcolo ottengo F'(x) del testo dell'esercizio e la condizione in 0 è verificata.
La soluzione sembra funzionare, il ragionamento è giusto oppure non funziona?
mi sono imbattuto in questo esercizio:
- Si determini una funzione F tale che:
\[ F'(x)= \frac{2+cos^2x}{1+cos^2x}tanx \] e contemporaneamente \[ F(0)=0 \]
Quindi dovrei integrare F'(x) e trovare la primitiva F(x)+c che risolva l'equazione F(0)=0.
Per prima cosa ho provato semplicemente a calcolarmi l'integrale di F'(X), ma sono arrivato ad un punto in cui penso che l'unica soluzione possibile sia utilizzare la scomposizione in frazioni parziali con il teorema di Hermite. La difficolta sta nella scomposizione di un polinomio di grado elevato con radici complesse, cosa che, essendo questo un esercizio d'esame e da svolgersi in 30 minuti, mi fa pensare che questa non sia la strada giusta.
Allora ho di guardare l'esercizio al contrario, la prima equazione può essere pensata come la derivata di un integrale definito \(\int_{0}^{g(x)} \) con g(x) una funzione la cui derivata è tanx ovvero \[F'(g(x)) g'(x) -F(0)0 \text { } \text {ovvero} \text { } F'(ln(cosx))tanx \]
e svolgendo qualche calcolo ho trovato questa primitiva
\[ F'(x)= \frac{2+cos^2x}{1+cos^2x}tanx =(1+ \frac{1}{1+cos^2x})tanx \rightarrow F(x)= \int_{0}^{ln(cosx)} 1+ \frac{1}{1+cos^2(arccos(e^t)} dt \] calcolato in zero \(\rightarrow F(0)=0 \)
Quindi derivando F(x) grazie al teorema fondamentale del calcolo ottengo F'(x) del testo dell'esercizio e la condizione in 0 è verificata.
La soluzione sembra funzionare, il ragionamento è giusto oppure non funziona?
Risposte
Credo che sia richiesto di determinare esplicitamente la funzione \(F\); a tale proposito basta calcolare
\[
F(x) = \int_0^x \frac{2+\cos^2 t}{1+\cos^2t} \cdot \tan t \, dt\,.
\]
\[
F(x) = \int_0^x \frac{2+\cos^2 t}{1+\cos^2t} \cdot \tan t \, dt\,.
\]
Come ho scritto nel messaggio precedente, il calcolo dell'integrale è stata la prima cosa che ho fatto, ma si arriva a dover applicare Hermite a :
\[ \int_{0}^{x} 2t \frac{(t^2+1)}{(t^4+1)(1-t^2)} dx \]
con \[ (t^4+1) \] un polinomio scomponibile con radici complesse
\[ \pm \sqrt{i} \text { e } \pm \sqrt{-i} \] \[ \text{con molteplicità 2}\]
cosa che a me onestamente sembra dispendiosa da calcolare in un esercizio d'esame da svolgersi in mezz'ora. Per questo ho pensato ad una soluzione alternativa.
\[ \int_{0}^{x} 2t \frac{(t^2+1)}{(t^4+1)(1-t^2)} dx \]
con \[ (t^4+1) \] un polinomio scomponibile con radici complesse
\[ \pm \sqrt{i} \text { e } \pm \sqrt{-i} \] \[ \text{con molteplicità 2}\]
cosa che a me onestamente sembra dispendiosa da calcolare in un esercizio d'esame da svolgersi in mezz'ora. Per questo ho pensato ad una soluzione alternativa.
Ciao!
Ma sicuro ti convenga prendere questo toro per la coda
(ovvero il tuo ragionamento,non errato ad un'occhiata sazia e dunque distratta$rArr$inattendibile,
che però mi lascia qualche dubbio se nel caso specifico sia il caso usare un approccio da reverse engineering..),
invece che per le corna
(ossia osservare che $int (2+"cos"^2x)/(1+"cos"^2x)"tg"x dx=(-int (2+t^2)/(t(1+t^2)) dt)_(t=cosx)=-(int (2/t-t/(t^2+1)) dt)_(t=cosx)=$
$=-(2"log"|t|-"log"|t^2+1|+c)_(t=cos x)=..="log"(1+1/("cos"^2x))+c$)?
Tra l'altro così è più semplice accorgersi d'eventuali errori nei conti,
rispetto ad una espressione come quella da te trovata nella quale son presenti più funzioni inverse di quante,evidentemente,son davvero necessarie:
saluti dal web.
N.B.Se ti dovesse capitare un'altra volta $t^4+1$ in qualche decomposizione in fratti semplici
(con denominatori cioè irriducibili in $RR[x]$,e dunque al massimo di II° grado..),
osserva che $(t^2-sqrt(2)t+1)(t^2+sqrt(2)t+1)$ ne è una decomposizione:
magari ti fà risparmiare un pò di tempo
!
Ma sicuro ti convenga prendere questo toro per la coda
(ovvero il tuo ragionamento,non errato ad un'occhiata sazia e dunque distratta$rArr$inattendibile,
che però mi lascia qualche dubbio se nel caso specifico sia il caso usare un approccio da reverse engineering..),
invece che per le corna
(ossia osservare che $int (2+"cos"^2x)/(1+"cos"^2x)"tg"x dx=(-int (2+t^2)/(t(1+t^2)) dt)_(t=cosx)=-(int (2/t-t/(t^2+1)) dt)_(t=cosx)=$
$=-(2"log"|t|-"log"|t^2+1|+c)_(t=cos x)=..="log"(1+1/("cos"^2x))+c$)?
Tra l'altro così è più semplice accorgersi d'eventuali errori nei conti,
rispetto ad una espressione come quella da te trovata nella quale son presenti più funzioni inverse di quante,evidentemente,son davvero necessarie:
saluti dal web.
N.B.Se ti dovesse capitare un'altra volta $t^4+1$ in qualche decomposizione in fratti semplici
(con denominatori cioè irriducibili in $RR[x]$,e dunque al massimo di II° grado..),
osserva che $(t^2-sqrt(2)t+1)(t^2+sqrt(2)t+1)$ ne è una decomposizione:
magari ti fà risparmiare un pò di tempo
!
Ti ringrazio per il consiglio, sinceramente la sostituzione di
\[ t=cosx\]
non mi era nemmeno passata per la testa, benché fosse la più semplice e sensata. Grazie mille.
Ultima cosa, non ho capito se il mio ragionamento era corretto o no, cioè se esprimere la primitiva come funzione integrale senza dover calcolare effettivamente l'integrale era corretta o meno. Grazie di nuovo.
\[ t=cosx\]
non mi era nemmeno passata per la testa, benché fosse la più semplice e sensata. Grazie mille.
Ultima cosa, non ho capito se il mio ragionamento era corretto o no, cioè se esprimere la primitiva come funzione integrale senza dover calcolare effettivamente l'integrale era corretta o meno. Grazie di nuovo.
Ad occhio pare lecito,il tuo ragionamento:
ma opportuno,nel caso specifico,non lo si direbbe proprio
!
Saluti dal web.
ma opportuno,nel caso specifico,non lo si direbbe proprio
!Saluti dal web.
Una osservazione che completa quello già detto da theras e che si basa sull'esperienza: quando negli integrali i si presenta una tangente, sempre meglio riportarla nella forma seno fratto coseno. Come vedi, in questo caso il tutto si riduceva a fare alcune osservazioni su questo fatto.
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