Problemi con equazioni esponenziali!
Ciao ragazzi mi servirebbe una mano nel capire alcune proprietà dell'esponenziale e del logaritmo!
L'equazione è questa $ e^{x^(2) } - e^{-x}+ 100 $ >0 .
Io ora non capisco se posso usare il logaritmo in questo modo: Avendo una funzione di questo tipo posso scomporre il logaritmo cosi?
$ ln e^{x^(2) } - ln e^{-x}+ ln 100 >0 $ o devo mettere tutto dentro un unico logaritmo? Cioè $ ln (e^{x^(2) } -e^{-x}+100) >0 $
Quello che voglio sapere se ln o l'esponenziale lo posso scomporre così come ho fatto.
L'equazione è questa $ e^{x^(2) } - e^{-x}+ 100 $ >0 .
Io ora non capisco se posso usare il logaritmo in questo modo: Avendo una funzione di questo tipo posso scomporre il logaritmo cosi?
$ ln e^{x^(2) } - ln e^{-x}+ ln 100 >0 $ o devo mettere tutto dentro un unico logaritmo? Cioè $ ln (e^{x^(2) } -e^{-x}+100) >0 $
Quello che voglio sapere se ln o l'esponenziale lo posso scomporre così come ho fatto.
Risposte
Ehm.. 
assolutamente no! al massimo applichi i logaritmi a entrambi i membri, ma in questo caso è inutile.. basta ragionarci un attimo 
assolutamente no! al massimo applichi i logaritmi a entrambi i membri, ma in questo caso è inutile.. basta ragionarci un attimo
Quindi la disequazione la devo risolvere cosi $ e^{x^(2) } - e^{-x} > - 100 $ e dopo è impossibile perché il log non può assumere valori negativi dunque è verificata $ AA x in RR $
Come fa a diventare la disequazione da così:
$e^(x^2) + e^(-x) + 100 > 0$
A così:
$e^(x^2) - e^(-x) > - 100$ ??
$e^(x^2) + e^(-x) + 100 > 0$
A così:
$e^(x^2) - e^(-x) > - 100$ ??
porto il 100 dopo il segno >. E' come fare x+1>0 e diventa x>-1.
Sì quello è ovvio ma.. $e^(-x) ≠ - e^(-x)$ e poi sapendo che una funzione esponenziale, in questo caso una somma di esponenziali, è sempre positiva...
ma.. $e^(-x) ≠ - e^(-x)$ e poi sapendo che una funzione esponenziale, in questo caso una somma di esponenziali, è sempre positiva...
Ho sbagliato! La disequazione giusta è cosi $ e^{x^(2) } -e^{-x} + 100 >0 $ che poi diventa cosi $ e^{x^(2) } -e^{-x} > -100 $.
Ho corretto anche il testo!!
Ho corretto anche il testo!!
Ah allora cambia tutto 
Ma ti serve il valore esatto?
Ma ti serve il valore esatto?
il valore esatto non mi serve,ciò che mi serve è il procedimento per arrivare al valore!
Visto che [tex]$e^{x^2}\geq 1$[/tex], la tua funzione è [tex]$\geq 101-e^{-x}$[/tex], quindi essa è certamente maggiore di [tex]$0$[/tex] quando [tex]$e^{-x}<101$[/tex], ossia per [tex]$x>\ln \tfrac{1}{101}\approx -4.6$[/tex].
D'altra parte, se [tex]$x< -1$[/tex] si ha [tex]$-x< x^2$[/tex], ergo [tex]$e^{x^2}> e^{-x}$[/tex], quindi a maggior ragione è [tex]$e^{x^2}-e^{-x}+100>0$[/tex] per [tex]$x<-1$[/tex].
Conseguentemente la tua funzione è [tex]$>0$[/tex] sia in [tex]$]\ln \tfrac{1}{101}, +\infty[$[/tex] sia in [tex]$]-\infty, -1[$[/tex] e, dato che [tex]$\mathbb{R}=]-\infty, -1[\cup ]\ln \tfrac{1}{101}, +\infty[$[/tex], la funzione [tex]$e^{x^2}-e^{-x}+100$[/tex] è positiva in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
D'altra parte, se [tex]$x< -1$[/tex] si ha [tex]$-x< x^2$[/tex], ergo [tex]$e^{x^2}> e^{-x}$[/tex], quindi a maggior ragione è [tex]$e^{x^2}-e^{-x}+100>0$[/tex] per [tex]$x<-1$[/tex].
Conseguentemente la tua funzione è [tex]$>0$[/tex] sia in [tex]$]\ln \tfrac{1}{101}, +\infty[$[/tex] sia in [tex]$]-\infty, -1[$[/tex] e, dato che [tex]$\mathbb{R}=]-\infty, -1[\cup ]\ln \tfrac{1}{101}, +\infty[$[/tex], la funzione [tex]$e^{x^2}-e^{-x}+100$[/tex] è positiva in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Come no detto
Ho capito tutto il ragionamento che hai fatto! Però ho ancora qualche dubbio.Questo procedimento vale solo per questa funzione o anche per altre? tipo
$ e^{x^(2) } + e^{-x} -x>0 $ devo fare lo stesso procedimento?
La risolverei cosi:
$ e^{x^(2) } + e^{-x}\geq 2 $ $ AA x in RR $ quindi devo studiare la disequazione $ 2-x>0 $ giusto ?
$ e^{x^(2) } + e^{-x} -x>0 $ devo fare lo stesso procedimento?
La risolverei cosi:
$ e^{x^(2) } + e^{-x}\geq 2 $ $ AA x in RR $ quindi devo studiare la disequazione $ 2-x>0 $ giusto ?
Aspetta, non è sempre vero che quella quantità è maggiore di $2$. Prova per qualche $x<1$, penso che ti venga un valore $<2$.
Giusto per 0
So per certo che è sempre positiva perché quando vado a studiare il segno ho trascurato $ e^-x $ che prende valori compresi tra [0;1] e ho risolto la disequazione cosi $e^{x^2} > x $ trasformo in ln e diventa $ x^2> ln x $ che è verificata $AA x in RR$
So per certo che è sempre positiva perché quando vado a studiare il segno ho trascurato $ e^-x $ che prende valori compresi tra [0;1] e ho risolto la disequazione cosi $e^{x^2} > x $ trasformo in ln e diventa $ x^2> ln x $ che è verificata $AA x in RR$
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