Problemi con eq. differenziale

[checco4]

Ciao a tutti,
ho la seguente eq. differenziale, parte di un problema di Cauchy:

y'' -4y -8e^(2x)=0 ;

la soluzione dell'omogena dovrebbe essere: c1 e^(2x) + c2 e^(-2x)

e la soluzione particolare a me viene: 2x e^(2x) , per trovare questa soluzione ho utilizzato il metodo di somiglianza con un esponenziale, per capirci k x^(m) e^(ax) , dove m è la molteplicità.

Il problema è che se la calcolo con un calcolatore la soluzione dovrebbe essere : (2x + c1 -1/2)e^(2x) + c2 e^(-2x), dalla soluzione particolare dovrei ottenere anche il termine -1/2 e^(2x).

Come dovrei fare per ottenerlo? Io ottengo solo un risultato e non due dalla soluzione particolare?

Qualunque suggerimento è ben accetto...
Grazie, CHECCO.

[g.schgor1]

Ho provato col metodo di Laplace ed ho ottenuto questo:

(visto che non avevi posto condizioni iniziali, le ho
ritenute =0).
La prova conferma che il risultato dovrebbe essere giusto.

[david_e1]

Stai attento perche' la soluzione particolare di un'equazione differenziale non e' unica!

In questo caso la tua soluzione e' esatta come lo e' anche quella dal calcolatore. (prova a sostituire la soluzione da te trovata e vedrai)

Il motivo per cui il computer di da' quella come soluzione e' che anche lui usa la trasformata di Laplace (visto che il criterio di somiglianza si applica solo ai casi "scolastici")....

Comunque se non ti fidi ecco la prova:
y=2*x*exp(2*x)+c1*exp(2*x)+c2*exp(-2*x) Soluzione base
y'=2*(1+2*x+c1-c2*exp(-4*x))*exp(2*x) Derivata prima
y''=8*exp(2*x)+8*x*exp(2*x)+4*c1*exp(2*x)+4*c2*exp(-2*x) Derivata seconda

y''=4*y+8*exp(2*x)