Problemi con coordinate polari
Ho un triplo da risolvere, ma mi viene un risultato sospetto (è una traccia d'esame, quindi senza soluzione):
$ A={(x,y,z) in RR ^3 | x^2+y^2<=4 , x>=0, y>=0, 0<=z<=3} $
chidendo di integrare:
$ int int int_(T) x dx dy dz $
Ho pensato, evidentemente in modo sbagliato, di fare così:
$ int_(0)^(3) int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) r(rcos(theta)) dr d(theta) dz $
ma l'integrale del cos, in 0 e 2pi mi annulla tutto.... e non capisco come dovrei fare..
$ A={(x,y,z) in RR ^3 | x^2+y^2<=4 , x>=0, y>=0, 0<=z<=3} $
chidendo di integrare:
$ int int int_(T) x dx dy dz $
Ho pensato, evidentemente in modo sbagliato, di fare così:
$ int_(0)^(3) int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) r(rcos(theta)) dr d(theta) dz $
ma l'integrale del cos, in 0 e 2pi mi annulla tutto.... e non capisco come dovrei fare..
Risposte
Potresti motivare le condizioni che ti sei ottenuto dall'insieme di definizione?
"pater46":
Potresti motivare le condizioni che ti sei ottenuto dall'insieme di definizione?
io ho preso direttamente dall'insieme, questo:
$ r^2<=4, rcos(theta)>=0, rsin(theta)>=0, 0<=z<=3 $
trovando lo strato in polari, lo integrerei poi da 0 a 3 in dz...
edit: momento momento... forse ci sono... x e y maggiori di zero servono a qualcosa XD
ok, ho fatto così:
siccome bisogna considerare solo il quadrante positivo, ridefinisco l'integrale in questo modo:
$ int_(0)^(3) int_(0)^(pi/2) int_(0)^(2) r(rcos(theta)) dr d(theta) dz $
e viene 8 ... si fa quasi a mente..tuttavia, a parte il fatto che a forza di farne son fuso, anche a te viene 8?
Ah ok... Facendolo in coordinate sferiche io ho trovato che: $r <= 2$, $\theta <= \pi/2$, $\phi <= \pi/2$.
Appunto perchè avrei:
1) $r^2sin^2\phi <= 4$
2) $sin\phicos\theta >= 0$
3) $sin\phicos\theta >=0$
4) $0 <= rcos\phi <= 3$
E, sapendo che $0 <= \phi <= \pi$ allora dev'essere ( per la 2 e la 3 ) $ 0 <= \theta <= \pi/2$.
Dalla 1 ti trovi che $r <= 2$, e dalla 4 ti trovi che $cos\phi >= 0$ ovvero $\phi <= \pi/2$.
PS: aspetta che lo risolvo.. sono ancora un n00b in questi integrali, vediamo come mi viene.
Appunto perchè avrei:
1) $r^2sin^2\phi <= 4$
2) $sin\phicos\theta >= 0$
3) $sin\phicos\theta >=0$
4) $0 <= rcos\phi <= 3$
E, sapendo che $0 <= \phi <= \pi$ allora dev'essere ( per la 2 e la 3 ) $ 0 <= \theta <= \pi/2$.
Dalla 1 ti trovi che $r <= 2$, e dalla 4 ti trovi che $cos\phi >= 0$ ovvero $\phi <= \pi/2$.
PS: aspetta che lo risolvo.. sono ancora un n00b in questi integrali, vediamo come mi viene.
"pater46":
Ah ok... Facendolo in coordinate sferiche io ho trovato che: $r <= 2$, $\theta <= \pi/2$, $\phi <= \pi/2$.
io ho usato le cilindriche, son piu semplici secondo me, in questo caso..
Mmm... in sferiche mi è risultato $81\pi/16$ :\
Ma non ti assicuro per niente che mi sia risultato, asp che ricontrollo!
EDIT: Ok fa 8
Ma non ti assicuro per niente che mi sia risultato, asp che ricontrollo!
EDIT: Ok fa 8
"pater46":
Mmm... in sferiche mi è risultato $81\pi/16$ :\
Ma non ti assicuro per niente che mi sia risultato, asp che ricontrollo!
provalo in cilindriche!
ricordo anche che nella traccia, lo spazio a disposizione è poco, ciò indica (Detto dai prof anke) pochi passaggi..
"TheXeno":
[quote="pater46"]Mmm... in sferiche mi è risultato $81\pi/16$ :\
Ma non ti assicuro per niente che mi sia risultato, asp che ricontrollo!
provalo in cilindriche!
ricordo anche che nella traccia, lo spazio a disposizione è poco, ciò indica (Detto dai prof anke) pochi passaggi..[/quote]
ciao scusa, sei riuscito?
scusate se mi intrometto.....
io ho provato a farlo cosi:
ho prima integrato la $z$ tra $0$ e $3$.... poi mi veniva un integrale doppio su un dominio "nuovo" (chiamiamolo C) che è uno spicchio di cerchio (un settore circolare) di raggio $2$...
ho integrato usando le coordinate polari
e ponendo $x=\rhocos(\theta)$ con jacobiano pari a $\rho$ ... dove $\theta$ lo integro da $(3/2)\pi$ e $2\pi$ e $\rho$ tra $0$ e $2$ ....
svolgnedo mi viene $8/3$
spero di aver fatto bene...
(si poteva integrare anche $\theta$ tra $0$ e $\pi/2$ ma viene sempre $8/3$ )
cosi facendo vengono anche pochissimi passaggi come voi dicevate che doveva essere.....
io ho provato a farlo cosi:
ho prima integrato la $z$ tra $0$ e $3$.... poi mi veniva un integrale doppio su un dominio "nuovo" (chiamiamolo C) che è uno spicchio di cerchio (un settore circolare) di raggio $2$...
ho integrato usando le coordinate polari
e ponendo $x=\rhocos(\theta)$ con jacobiano pari a $\rho$ ... dove $\theta$ lo integro da $(3/2)\pi$ e $2\pi$ e $\rho$ tra $0$ e $2$ ....
svolgnedo mi viene $8/3$
spero di aver fatto bene...
(si poteva integrare anche $\theta$ tra $0$ e $\pi/2$ ma viene sempre $8/3$ )
cosi facendo vengono anche pochissimi passaggi come voi dicevate che doveva essere.....
perchè lo integri da $3/2\pi$ ? Come condizioni hai che sia $cos\theta$ che $sin\theta$ devono essere positivi, quindi ci muoviamo nel primo quadrante.
Comunque probabilmente hai dimenticato di moltiplicare per il primo pezzo di integrale, hai moltiplicato per $ int_0^3 dz$ ?
Comunque probabilmente hai dimenticato di moltiplicare per il primo pezzo di integrale, hai moltiplicato per $ int_0^3 dz$ ?
pater46 hai ragione... viene $8$ ...
per quanto rigurda l'intervallo di integrazione di $\theta$ ho integrato da $(3/2)\pi$ solo perchè ho disegnato il sitema di assi ortognali $X,Y,Z$ in maniera "diversa" ...però si sarebbe correttamente da $0$ a $\pi/2$ ....
per quanto rigurda l'intervallo di integrazione di $\theta$ ho integrato da $(3/2)\pi$ solo perchè ho disegnato il sitema di assi ortognali $X,Y,Z$ in maniera "diversa" ...però si sarebbe correttamente da $0$ a $\pi/2$ ....
"pater46":
perchè lo integri da $3/2\pi$ ? Come condizioni hai che sia $cos\theta$ che $sin\theta$ devono essere positivi, quindi ci muoviamo nel primo quadrante.
Comunque probabilmente hai dimenticato di moltiplicare per il primo pezzo di integrale, hai moltiplicato per $ int_0^3 dz$ ?
per me la cosa è risolta, abbiamo fatto tutti nello stesso modo
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