Problemi con Alcuni Limiti
Salve a tutti... vorrei chiedervi aiuto per alcuni limiti che non riesco a portare in forma Notevole (devo risolverli senza De l'Hopital)
$lim (1-x)^(1/ln(1+sqrt(x)))$
$x->0+$
$lim (1+x)^(1/(ln(1-x^2)))$
$x->-1+$
$lim ((2+cosx)^3-1)/ln(1+senx)$
$x->pi$
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
$lim (1-x)^(1/ln(1+sqrt(x)))$
$x->0+$
$lim (1+x)^(1/(ln(1-x^2)))$
$x->-1+$
$lim ((2+cosx)^3-1)/ln(1+senx)$
$x->pi$
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Il primo limite è banalmente 1, infatti scrivendo
la funzione nella forma $e^((f(x)) log (g(x)) )$ si ottiene
il limite per $x->0^+$ di $e^( (log(1-x))/(log(1+sqrtx)) )
e si osserva, usando il limite notevole di $(log(1+x))/x$,
che l'esponente di $e$ è asintotico a $-sqrtx$ per $x->0^+$,
quindi $lim_(x->0^+) e^(-sqrtx) = e^0 = 1
la funzione nella forma $e^((f(x)) log (g(x)) )$ si ottiene
il limite per $x->0^+$ di $e^( (log(1-x))/(log(1+sqrtx)) )
e si osserva, usando il limite notevole di $(log(1+x))/x$,
che l'esponente di $e$ è asintotico a $-sqrtx$ per $x->0^+$,
quindi $lim_(x->0^+) e^(-sqrtx) = e^0 = 1
per il terzo: basta applicare De l' Hopital...e il limite dovrebbe tornare 3...
ciao
ciao
Per il terzo limite, osserva che il numeratore si può scrivere come:
$(1+1+cosx)^3 - 1
e per $x->pi$, $1+cosx->0$ per cui si può usare
lo sviluppo di MacLaurin di $(1+x)^a$: $(1+x)^a =1+ax+o(x)$ per $x->0$ ed $a in RR$.
Quindi $(1+1+cosx)^3-1 ~~ 3(1+cosx)$ per $x->pi$.
Discorso analogo per il denominatore.
Poiché $sinx->0$ per $x->pi$ si ha:
$log(1+sinx)~~sinx$ per $x->pi$.
Quindi ci siamo ricondotti a calcolare:
$lim_(x->pi) (3(1+cosx))/(sinx)
e si verifica facilmente (per esempio moltiplicando
numeratore e denominatore per $1-cosx$)
che il valore di tale limite è 0.
$(1+1+cosx)^3 - 1
e per $x->pi$, $1+cosx->0$ per cui si può usare
lo sviluppo di MacLaurin di $(1+x)^a$: $(1+x)^a =1+ax+o(x)$ per $x->0$ ed $a in RR$.
Quindi $(1+1+cosx)^3-1 ~~ 3(1+cosx)$ per $x->pi$.
Discorso analogo per il denominatore.
Poiché $sinx->0$ per $x->pi$ si ha:
$log(1+sinx)~~sinx$ per $x->pi$.
Quindi ci siamo ricondotti a calcolare:
$lim_(x->pi) (3(1+cosx))/(sinx)
e si verifica facilmente (per esempio moltiplicando
numeratore e denominatore per $1-cosx$)
che il valore di tale limite è 0.
"jack":
per il terzo: basta applicare De l' Hopital...e il limite dovrebbe tornare 3...
ciao
Mi sembra che abbia detto che deve risolverli senza De L'Hopital...
non avevo letto le parentesi.... 
...
...
Il risultato del secondo limite è $e$.
Si procede come nel calcolo del primo limite,
quindi si ottiene $e^( (log(1+x))/(log(1-x^2)) )$
e dato che $log(1-x^2)=log((1-x)(1+x))=log(1-x)+log(1+x)$
sostituendo si ha che $log(1-x)->log2$ per $x->-1^+$,
mentre $log(1+x)->+oo$, per cui il limite
dell'esponente di $e$ vale 1, da cui il risultato del limite.
Si procede come nel calcolo del primo limite,
quindi si ottiene $e^( (log(1+x))/(log(1-x^2)) )$
e dato che $log(1-x^2)=log((1-x)(1+x))=log(1-x)+log(1+x)$
sostituendo si ha che $log(1-x)->log2$ per $x->-1^+$,
mentre $log(1+x)->+oo$, per cui il limite
dell'esponente di $e$ vale 1, da cui il risultato del limite.
Grazie ancora per le delucidazioni... Francamente per la legge dell'uovo di Colombo, adesso che me ne accorgo il primo ed il secondo non sono difficili 
Il terzo, beh... devo ancora ragionarci sopra, ma lo capirò. L'importante è avere dei passaggi logici coi quali confrontarmi.
Il terzo, beh... devo ancora ragionarci sopra, ma lo capirò. L'importante è avere dei passaggi logici coi quali confrontarmi.
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