Problemi col teorema di Weierstrass
Salve a tutti, ho un problema col teorema di Weierstrass
Lo sto dimostrando nella seguente forma: Dimostriamo esistenza del massimo
Supponiamo di avere L = sup f in [a,b] ; verifico che esiste una successione xn appartenente ad [a,b] tale che f(xn)-->L
Casi Sul Sup :
L = +inf : per le proprietà del sup, dato che per ogni n , n non è maggiorante, abbiamo che esiste una xn appartenente ad [a,b] tale che f(xn)>n per ogni n appartenente a N
Da cui si ha che f(xn)-->+inf = L
L appartenente ai reali : in questo caso invece abbiamo le proprietà del sup : I) f(x) <= L per ogni x appartenente ad [a,b]
II) per ogni epsilon positiva esisterà una x appartenente a [a,b] tale che f(x) > L - epsilon
fissando epsilon = 1/n si avrà che f(xn)>L-1/n da cui per il teorema del confronto si deduce che f(xn)-->L
Ora per proseguire devo prima dimostrare che L non può essere +inf ma non riesco a formulare la dimostrazione matematica ... so che [a,b] è chiuso e limitato ed è per quello che L non può essere +inf , anche perchè f è continua per ipotesi, ma vorrei dei passaggi matematici... per favore qualcuno mi aiuti , ringrazio in anticipo.
Lo sto dimostrando nella seguente forma: Dimostriamo esistenza del massimo
Supponiamo di avere L = sup f in [a,b] ; verifico che esiste una successione xn appartenente ad [a,b] tale che f(xn)-->L
Casi Sul Sup :
L = +inf : per le proprietà del sup, dato che per ogni n , n non è maggiorante, abbiamo che esiste una xn appartenente ad [a,b] tale che f(xn)>n per ogni n appartenente a N
Da cui si ha che f(xn)-->+inf = L
L appartenente ai reali : in questo caso invece abbiamo le proprietà del sup : I) f(x) <= L per ogni x appartenente ad [a,b]
II) per ogni epsilon positiva esisterà una x appartenente a [a,b] tale che f(x) > L - epsilon
fissando epsilon = 1/n si avrà che f(xn)>L-1/n da cui per il teorema del confronto si deduce che f(xn)-->L
Ora per proseguire devo prima dimostrare che L non può essere +inf ma non riesco a formulare la dimostrazione matematica ... so che [a,b] è chiuso e limitato ed è per quello che L non può essere +inf , anche perchè f è continua per ipotesi, ma vorrei dei passaggi matematici... per favore qualcuno mi aiuti , ringrazio in anticipo.
Risposte
Allora, forse sono stato poco chiaro nell'esposizione del problema... sarò più conciso:
ho una funzione f:[a,b]-->$R$ continua in [a,b] chiuso e limitato
come faccio a dimostrare matematicamente che il $SUP f$ non può essere $+oo$?
ho una funzione f:[a,b]-->$R$ continua in [a,b] chiuso e limitato
come faccio a dimostrare matematicamente che il $SUP f$ non può essere $+oo$?
se l'intervallo non è chiuso per esempio $]0,1]={x in RR:0
ecco quindi che essendo la nostra funzione, chiusa e limitata, la funzione ammette un massimo e un minimo in $[a,b]$.
se c'è qualche errore è perchè devo ancora fare pratica con le formule...!!!!
Spero ti sia stato di aiuto..
ciao
ecco quindi che essendo la nostra funzione, chiusa e limitata, la funzione ammette un massimo e un minimo in $[a,b]$.
se c'è qualche errore è perchè devo ancora fare pratica con le formule...!!!!
Spero ti sia stato di aiuto..
ciao
Grazie, Splair, apprezzo il tuo intervento .
Tuttavia non era quello di cui avevo bisogno. Cioè, io so il perchè una funzione chiusa e limitata non può avere $SUP f$ = $+oo$ , non so spiegarlo e cioè dimostrarlo in maniera formale, con formule matematiche... ho questo grave difetto, lo so... se tu stesso puoi darmi questa dimostrazione te ne sarei grato ancora di più.
Ovviamente la richiesta non è fatta solo a Splair ma a chiunque voglia aiutarmi , grazie ancora.
Tuttavia non era quello di cui avevo bisogno. Cioè, io so il perchè una funzione chiusa e limitata non può avere $SUP f$ = $+oo$ , non so spiegarlo e cioè dimostrarlo in maniera formale, con formule matematiche... ho questo grave difetto, lo so... se tu stesso puoi darmi questa dimostrazione te ne sarei grato ancora di più.
Ovviamente la richiesta non è fatta solo a Splair ma a chiunque voglia aiutarmi , grazie ancora.
Se sup $f = + oo$, come hai detto tu riesci a trovare una successione $x_n \in [a,b]$ tale che $lim_{n -> oo} f(x_n) = +oo$.
Per Bolzano Weierstrass, c'è una sottosuccessione $x_{k_n}$ tale che $x_{k_n} -> c$, con $c \in [a,b]$. Ma allora $\lim_ {n -> oo} f(x_{k_n}) -> f(c)$, per la caratterizzazione della continuità mediante successioni.
Ovviamente $f(c) \in RR$. Questo è una contraddizione perché $f(x_{k_n})$ è una sottosuccessione estratta da $f(x_n)$ che va a $+oo$.
Limpido, no?
ciao
Per Bolzano Weierstrass, c'è una sottosuccessione $x_{k_n}$ tale che $x_{k_n} -> c$, con $c \in [a,b]$. Ma allora $\lim_ {n -> oo} f(x_{k_n}) -> f(c)$, per la caratterizzazione della continuità mediante successioni.
Ovviamente $f(c) \in RR$. Questo è una contraddizione perché $f(x_{k_n})$ è una sottosuccessione estratta da $f(x_n)$ che va a $+oo$.
Limpido, no?
ciao
Vorrei una precisazione: Se ho una funzione $f:I->RR$ con $f$ continua ed $I$ un intervallo, allora $f(I)$ è un intervallo.
Posso dire che se $I$ è chiuso e limitato allora anche $f(I)$ sarà chiuso e limitato?
Grazie
Posso dire che se $I$ è chiuso e limitato allora anche $f(I)$ sarà chiuso e limitato?
Grazie
risponde l'esperto 
sì, puoi dirlo
è essenzialmente il teorema di W che te lo garantisce
l'immagine di $f$ è $[\min f, \max f]$ (ehi, W da solo ti dice che $f(I) \sube [\min f, \max f]$; per l'uguaglianza ti serve sapere che l'immagine è un intervallo, cosa che hai detto prima e che viene dal teorema degli zeri)
ciao
sì, puoi dirlo
è essenzialmente il teorema di W che te lo garantisce
l'immagine di $f$ è $[\min f, \max f]$ (ehi, W da solo ti dice che $f(I) \sube [\min f, \max f]$; per l'uguaglianza ti serve sapere che l'immagine è un intervallo, cosa che hai detto prima e che viene dal teorema degli zeri)
ciao
"Fioravante Patrone":
risponde l'esperto
sì, puoi dirlo
è essenzialmente il teorema di W che te lo garantisce
Il problema è che a me serviva proprio per dimostrare W... O meglio, mi serviva per dire che l'immagine era un insieme compatto, per poi proseguire la dimostrazione...
no Dust, la via normale è a rovescio
prima si dim W e poi da lì viene la bella idea di itrodurre una nozione generale, quella di compatto
prima si dim W e poi da lì viene la bella idea di itrodurre una nozione generale, quella di compatto
"Fioravante Patrone":
no Dust, la via normale è a rovescio
prima si dim W e poi da lì viene la bella idea di itrodurre una nozione generale, quella di compatto
Allora il mio libro è anormale.... Vabbè, internet serve anche a questo!
GRazie, ciao
Grazie per la risposta, almeno adesso so descrivere questo passo 
e posso completare la dimostrazione.
e posso completare la dimostrazione.
"Dust":
[quote="Fioravante Patrone"]no Dust, la via normale è a rovescio
prima si dim W e poi da lì viene la bella idea di itrodurre una nozione generale, quella di compatto
Allora il mio libro è anormale.... Vabbè, internet serve anche a questo!
[/quote]
visto anche l'altro post, posso sapere autori e titolo del tuo libro?
sono curioso...
"Fioravante Patrone":
[quote="Dust"][quote="Fioravante Patrone"]no Dust, la via normale è a rovescio
prima si dim W e poi da lì viene la bella idea di itrodurre una nozione generale, quella di compatto
Allora il mio libro è anormale.... Vabbè, internet serve anche a questo!
[/quote]
visto anche l'altro post, posso sapere autori e titolo del tuo libro?
sono curioso...[/quote]
Elementi di Analisi matematica - Bertsch\Dal Passo
Già è un libro difficile da capire, tu ora mi dici che hanno anche scritto qualche castroneria. non posso far altro che disperarmi...
@Dust
no, penso che tu ti possa fidare
sono due persone serie...
sulla questione Weierstrass - compattezza è una questione di gusti
la strada normale, come dicevo, è prima fare W e poi da qui cogliere l'esigenza e l'opportunità di generalizzare (cosa che diventa molto utile quando si lavora con funzioni di più variabili, ad esempio)
formalmente uno può tranquillamente invertire le cose: prima lavorare in astratto e poi passare al "concreto". Secondo me non è conveniente didatticamente (anche preché con la def formale e generale di compatto non si fa molta strada: solo dopo che uno si è sporcato le mani e ha dimostrato Bolzano-Weierstrass, allora ci può fare qualcosa)
sul punto sollevato nell'altro post, i due autori danno senz'altro le massime garanzie di corretetzza matematica (non ho mai visto il libro, preciso). Potrà esserci qualche svista, ma questo è normale. Sono però fermamente contrario alla loro scelta di carattere didattico, ancora di più che nel caso appena sopra discusso. Né mi piace (neanche sul piano formale) quanto tu citavi.
comunque, vai tranquillo!
ciao
no, penso che tu ti possa fidare
sono due persone serie...
sulla questione Weierstrass - compattezza è una questione di gusti
la strada normale, come dicevo, è prima fare W e poi da qui cogliere l'esigenza e l'opportunità di generalizzare (cosa che diventa molto utile quando si lavora con funzioni di più variabili, ad esempio)
formalmente uno può tranquillamente invertire le cose: prima lavorare in astratto e poi passare al "concreto". Secondo me non è conveniente didatticamente (anche preché con la def formale e generale di compatto non si fa molta strada: solo dopo che uno si è sporcato le mani e ha dimostrato Bolzano-Weierstrass, allora ci può fare qualcosa)
sul punto sollevato nell'altro post, i due autori danno senz'altro le massime garanzie di corretetzza matematica (non ho mai visto il libro, preciso). Potrà esserci qualche svista, ma questo è normale. Sono però fermamente contrario alla loro scelta di carattere didattico, ancora di più che nel caso appena sopra discusso. Né mi piace (neanche sul piano formale) quanto tu citavi.
comunque, vai tranquillo!
ciao
"Fioravante Patrone":
sulla questione Weierstrass - compattezza è una questione di gusti
la strada normale, come dicevo, è prima fare W e poi da qui cogliere l'esigenza e l'opportunità di generalizzare (cosa che diventa molto utile quando si lavora con funzioni di più variabili, ad esempio)
Ok, grazie della dritta. Il fatto è che anche per me va bene non tirare in ballo gli insiemi compatti visto che non gli abbiamo nemmeno mai citati a lezione(e ne sono certo, non può essere una mia svista). Il motivo per cui me ne ero interessato è perchè nel libro li utilizza nella dimostrazione e sono andato a vedere lì perchè la dimostrazione fornita dal mio prof sottointende delle cose che non abbiamo visto(e piuttosto che impararmi a memoria le cose preferisco capirle, anke se non è stato il massimo fin'ora avventurarsi nelle cose non spiegatemi dal prof...)
E martedì ho l'orale...
Visto che sono stati tirati in ballo , gli insiemi compatti sono quegli insiemi in cui f è uniformemente continua ? oppure l'uniforme continuità non ha niente a che vedere con gli insiemi compatti ?
la risposta e' essenzialmente positiva, anche se preferirei dire cosi':
se hai una funzione reale di variabile reale che e' definita e continua su un sottoinsieme non vuoto A dei reali, e se questo A e' compatto, allora la funzione e' uniformemente continua
se hai una funzione reale di variabile reale che e' definita e continua su un sottoinsieme non vuoto A dei reali, e se questo A e' compatto, allora la funzione e' uniformemente continua
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