Problemi!

[giadagallo1]

Potreste aiutarmi a risolvere questi esercizi?


1) DETERMINARE IL NUMERO E IL SEGNO DELLE SOLUZIONI DI:
a. e “elevato a x”+4x “elevato a 5”+x +2x-7=0
b. e “elevato a x”+5x“elevato a 5”+2x³+x+4=0

2) CALCOLARE I SEGUENTI LIMITI MEDIANTE LA FORMULA DI TAYLOR:
a. lim che tende a zero di: (3e “elevato a –2x²” –2cosx-1) / 5sen²x
b. lim che tende a zero di: (3e “elevato a –3x²” –2cosx-1) / 4 sen²x

3) DISEGNARE IL DOMINIO DELLE SEGUENTI FUNZIONI:

a. f(x,y)=radice quadrata di 3y-2x-1
b. f(x,y)=radice quadrata di 2x-3y+1

4) Vero o falso,e perché!

a. se f:[a,b] in R è integrabile, allora f è continua? V o F, perché?
se f:[a,b] in R è limitata, allora f è integrabile? V o F, perché?

[Sk_Anonymous]

1)
a)Poniamo f(x)=e^x+4x^5+x^3+2x-7
(ho messo di mia inziativa l'esponente 3 alla penultima x)
Si ha :f'(x)=e^x+20x^4+3x^2+2>0 sempre in R
Segue che f(x) e' strettamente crescente in R e quindi puo' tagliare
l'asse x al piu' una volta.Inoltre f(-infinito)=-infinito
f(0)=-6<0,f(+infinito)=+infinito e quindi v'e' una sola radice
compresa tra 0 e +infinito e pertanto positiva.
b)e' simile al primo.
Poniamo f(x)=e^x+5x^5+2x^3+x+4
Si ha :f'(x)=e^x+25x^4+6x^2+1>0 sempre in R
Segue che f(x) e' strettamente crescente in R e quindi puo' tagliare
l'asse x al piu' una volta.Inoltre f(-infinito)=-infinito
f(0)=5>0,f(+infinito)=+infinito e qundi v'e' una sola radice
compresa tra -infinito e 0 e pertanto negativa.

2)
a)Tentiamo di sviluppare in serie di McLaurin arrestate al 2° termine.
e^x=1+x+o(x),da cui e^(-2x^2)=1-2x^2+o(x)
sin(x)=x-x^3/6+o(x),cos(x)=1-x^2/2+o(x)
Sostituendo,per x--->0 si ha (omettendo gli o(x)):
Lim[3(1-2x^2)-2(1-x^2/2)-1]/[(x-x^3/6)^2]=Lim[(-5x^2)/(x^2+o(x))]=-5
b)e' simile :puoi provare a farlo da sola.

3)
a) Deve essere:3y-2x-1>=0, da cui:y>=2/3*x+1/3.
Poiche' nell'origine (ovvero per x=0,y=0) questa disequazione
non e' verificata , si conclude che il dominio e' tutto il
semipiano che ha per origine la retta y=2/3*x+1/3 (inclusa
la retta medesima) e che non contiene l'origine.
b)e' 2x-3y+1=-(3y-2x-1) e pertanto il dominio richiesto e'
il complementere (rispetto al piano intero) del dominio
di cui al quesito (a)

4)Entrambi i quesiti sono falsi (o per lo meno non sono sempre
veri) .Almeno cosi' mi pare.
karl.