Problema...studiare i punti critici

[vikingo1]

devo studiare i punti criticidella funzione f(x,y)=e^(x*y^2)

ho trovato le derivate prime
df/dx=e^x*y^2
df/dy=e^x*y^2*2y
sono giuste??
e se lo sono è ancora peggio perchè nn so come continuare...

[asdf4]

quote:

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Originally posted by vikingo

devo studiare i punti criticidella funzione f(x,y)=e^(x*y^2)

ho trovato le derivate prime
df/dx=e^x*y^2
df/dy=e^x*y^2*2y
sono giuste??
e se lo sono è ancora peggio perchè nn so come continuare...

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Attenzione! La df/dx è y^2* e^(x*(y^2))
E la df/dy è 2xy*e^(x*(y^2))

Ora la condizione necessaria per avere un punto stazionario è che il gradiente sia nullo.
I punti candidati sono della forma (x,0).
Ora continua tu...

[vikingo1]

ok in pratica devo fare un sistema delle derivate e trovare i punti per cui si annullano....ma con e^x nn sono capace.... abbiate pazienza

[asdf4]

quote:

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Originally posted by vikingo

ok in pratica devo fare un sistema delle derivate e trovare i punti per cui si annullano....ma con e^x nn sono capace.... abbiate pazienza

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Nessun problema... Semplicemente l'esponenziale non si annulla mai per x o y che assumono valori finiti. Per cui la df/dx si annulla solamente con y=0.
A questo punto vuol dire che x può avere qualunque valore purchè x=0.
Allora i tuoi punti sono della forma (x,0). Per stabilire se sono massimi minimi o non estremanti non ti conviene fare l'Hessiana perchè sono conti su conti... Ti conviene ragionare geometricamente.

[vikingo1]

..io devo fare l'hessiana per forza...
cmq non riesco a capire ancora come faccio a trovare i punti...
me lo potresti fare vedere... grazie mille mille [:)]

[asdf4]

quote:

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Originally posted by vikingo

..io devo fare l'hessiana per forza...
cmq non riesco a capire ancora come faccio a trovare i punti...
me lo potresti fare vedere... grazie mille mille [:)]

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Ok. La condizione necessaria perchè un punto sia STAZIONARIO è che il gradiente della funzione sia nullo nel punto stesso.
In pratica fai il sistema e verifichi per quali punti si annullano TUTTE le derivate parziali prime della funzione.
2xy*e^(x*y^2)=0
y^2*e^(x*y^2)=0

Ora, l'esponenziale è SEMPRE maggiore di 0 e mai uguale a 0 per cui nessun (x,y) reale ti annulla quello. Allora guardi l'altro termine:
ad esempio y=0 soddisfa sia la prima che la seconda equazione per OGNI valore di x.
Non ci sono altre soluzioni per cui il gradiente sia nullo.

Adesso che sai che i punti candidati a POTER essere estremi sono quelli (x,0), hai due alternative:

1) O fai l'Hessiana, studi il segno del determinante e controlli il valore della derivata seconda... Però potrebbe essere un conto lungo, adesso non ho provato.

2) Il mio consiglio è invece studiare come è fatta la tua funzione e^(x*y^2). Questa funzione è sempre positiva ed è simmetrica rispetto all'asse y = 0. Se osservi bene vedi che fissato un x=c>0 la funzione si comporta come e^(c*y^2) e per y che va a + o - infinito spara a + infinito. Vuol dire che i punti (x,0) con x>0 sono dei MINIMI (relativi).
Se guardi con un x < 0 invece la funzione va come un esponenziale negativo per x-> + o - infinito. Va a 0 con y che diventa molto grande. Questo ti fa capire che hai un MASSIMO relativo sui punti (x,0) con x<0.

Detto tra parentesi, mi sa che il determinante dell'Hessiana viene 0... Per cui è un test che non ti dà informazioni.

Ciao!