[Problema]Funzione inversa + Dimostrazione Limite

[Carlo952]

Salve
ho dei dubbi riguardo il seguente esercizio:
Assegnata la funzione
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x-x^2} -x} \)
1)Determinare \(\displaystyle f^{-1} (0, +\infty) \)
2)Spiegare utilizzando la definizione il significato della seguente relazione
\(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty \)

1)Nel punto uno mi viene chiesto di determinare la funzione inversa di f(x),
Ho studiato la funzione per avere un'idea di come fosse fatta
Calcolando il dominio
\(\displaystyle D_f = (0,1) \cup (1,2] \)
Studiandone il segno
\(\displaystyle f(x) \ge 0\) per \(\displaystyle0 \(\displaystyle f(x)<0\) per \(\displaystyle1 Studiando il comportamento della \(\displaystyle f(x) \) agli estremi del dominio
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = -\frac{1}{2} \)
Ho fatto ciò per poter disegnare il grafico e per poter giungere alla conclusione che non è iniettiva e quindi non invertibile.

Domanda: Era necessario disegnare un grafico approssimativo della funzione per poter dire che non era iniettiva e quindi non invertibile?
E' possibile giungere alla stessa conclusione per via algebrica risparmiando tempo o magari facendo un altro tipo di ragionamento?
Per quale motivo il calcolatore mi dice che è possibile determinare la funzione inversa? Ho sbagliato qualcosa ?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... t%282x+-+x^2%29-x%29%29

2)Nel punto due mi viene chiesto di spiegare il risultato del limite utilizzando la definizione
Utilizzo la definizione di limite infinito per \(\displaystyle x \) che tende a un valore finito
Quindi devo mostrare utilizzando la sola definizione che comunque si prenda un M>0
\(\displaystyle f(x)>M \)
vale per tutte le x di un intorno sinistro del punto 1
Impostato il problema non riesco ad ottenere nessun risultato apprezzabile...aiuto!

[ciampax]

Non ti ha chiesto di determinare l'inversa, ma la preimmagine di $f^{-1}(0,+\infty)$, cioè l'insieme dei punti del dominio $x\in D_f$ tali che $f(x)\in(0,+\infty)$. Da ciò che hai detto (ma non ho controllato i conti) deve e ssere $f^{-1}(0,+\infty)=(0,1)$.

[Carlo952]

"ciampax":Non ti ha chiesto di determinare l'inversa, ma la preimmagine di $f^{-1}(0,+\infty)$, cioè l'insieme dei punti del dominio $x\in D_f$ tali che $f(x)\in(0,+\infty)$. Da ciò che hai detto (ma non ho controllato i conti) deve e ssere $f^{-1}(0,+\infty)=(0,1)$.

Errore mio...
Quindi determinare \(\displaystyle f^-1((0,+\infty)) \)
vuol dire semplicemente dire per quali valori della \(\displaystyle x \), la\(\displaystyle f(x) \) assume valori strettamente positivi?
Quindi basta risolvere la disequazione \(\displaystyle f(x)>0 \)?

Ho fatto i conti, ho calcolato la derivata prima,
\(\displaystyle f(x) =\frac{ x-1 +\sqrt{2x - x^2}}{(\sqrt{2x -x^2}-x)^2 * \sqrt{2x -x^2}} \)
ne ho studiato il segno

e ho visto che
il punto \(\displaystyle x=1 -\frac{1}{\sqrt{2}} \) è un punto di minimo per la \(\displaystyle f(x) \) nell'intervallo \(\displaystyle (0,1) \),
quindi \(\displaystyle f(x) \) in \(\displaystyle (0,1) \) assume valori maggiori o uguali di \(\displaystyle f(1- \frac{1}{\sqrt{2}}) \)
il che esclude dal codominio tutte le \(\displaystyle 0 Se \(\displaystyle f(x) \) non assume tutti i valori compresi fra \(\displaystyle (0,+\infty) \) è un errore dire che
\(\displaystyle f^{-1} (0, +\infty)=(0,1) \)?

[ciampax]

Per definizione
$$f^{-1}(A)=\{x\in D_f\ :\ f(x)=y\in A\}$$
Ovviamente se $A=(0,+\infty)={y>0}$ risulta semplicemente $f(x)>0$ e niente altro.
Il fatto che il minimo assuma un valore più grande di zero vuol dire, semplicemente, che $f(0,1)\subset(0,+\infty)$ e niente altro. Per la disequazione $\sqrt{2x-x^2}-x>0$ ristretta al dominio di $f$ si ha semplicemente $2x-x^2>x^2$ da cui $x^2-x<0$ e quindi $0

Cita

Segnala

[Carlo952]

"ciampax":Per definizione
$$f^{-1}(A)=\{x\in D_f\ :\ f(x)=y\in A\}$$
Ovviamente se $A=(0,+\infty)={y>0}$ risulta semplicemente $f(x)>0$ e niente altro.
Il fatto che il minimo assuma un valore più grande di zero vuol dire, semplicemente, che $f(0,1)\subset(0,+\infty)$ e niente altro. Per la disequazione $\sqrt{2x-x^2}-x>0$ ristretta al dominio di $f$ si ha semplicemente $2x-x^2>x^2$ da cui $x^2-x<0$ e quindi $0

Perfetto.
Per quanto riguarda il punto numero due invece ho trovato maggiori difficoltà:
Ho usato la definizione di limite infinito per x che tende a un valore finito
\(\displaystyle \forall\ M>0\ \exists\ I_{(x_0)}\ :\ \forall\ x \in\ I_{(x_0)}\ :\ f(x)>M \)
Per cui la seguente disequazione
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x -x^2}-x}\ >M \)
deve essere verificata \(\displaystyle \forall\ x \in\ I_{(1^{-})} \)

A questo punto dovrei risolvere la disequazione rispetto alla variabile \(\displaystyle x \) ma non riesco a isolare algebricamente la \(\displaystyle x \) a causa di quell'\(\displaystyle M \), qualche suggerimento su come procedere algebricamente?

[ciampax]

La disequazione si riscrive come
$$\frac{1-M(\sqrt{2x-x^2}-x)}{\sqrt{2x-x^2}-x}>0$$
Dal momento che il denominatore è già acquisito ($0 $$1-M\sqrt{2x-x^2}+Mx>0\ \Rightarrow\ 1+Mx>M\sqrt{2x-x^2}$$
L'ultima disequazione del tipo $g(x)>\sqrt{f(x)}$ equivale al sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
1+Mx\ge 0\\ 2x-x^2\ge 0\\ 1+2Mx+M^2 x^2>2M^2 x-M^2 x^2
\end{array}\right.$$
Riesci a risolverla?

[Carlo952]

"ciampax":La disequazione si riscrive come
$$\frac{1-M(\sqrt{2x-x^2}-x)}{\sqrt{2x-x^2}-x}>0$$
Dal momento che il denominatore è già acquisito ($0 $$1-M\sqrt{2x-x^2}+Mx>0\ \Rightarrow\ 1+Mx>M\sqrt{2x-x^2}$$
L'ultima disequazione del tipo $g(x)>\sqrt{f(x)}$ equivale al sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
1+Mx\ge 0\\ 2x-x^2\ge 0\\ 1+2Mx+M^2 x^2>2M^2 x-M^2 x^2
\end{array}\right.$$
Riesci a risolverla?

Allora
sono partito dal verificare per quali valori della x la disequazione
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x -x^2}-x} > M \)
è verificata
poi come mi hai fatto notare la disequazione poteva essere riscritta nel seguente modo
\[ \frac{1-M(\sqrt{2x-x^2}-x)}{\sqrt{2x-x^2}-x}>0 \]
Dal momento che il denominatore è positivo in un intorno sinistro del punto uno posso anche tralasciare il stuo studio in quanto ininfluente nello studio del segno della frazione

Procedo con lo studio del segno del numeratore
\(\displaystyle 1- M(\sqrt{2x -x^2}-x) > 0\)
Dopo alcuni passaggi algebrici
\(\displaystyle 1+Mx > M\sqrt{2x -x^2} \)
\[ \left\{\begin{array}{l} 1+Mx\ge 0\\ 2x-x^2\ge 0\\ 1+2Mx+M^2 x^2>2M^2 x-M^2 x^2 \end{array}\right. \]
\[ \left\{\begin{array}{l} x \ge -\frac{1}{M}\\ 0\le x \le 2\\ 2M^2 x^2 + x[2(M - M^2)] +1 >0 \end{array}\right. \]

A questo punto ho calcolato le radici dell'equazione associata all'ultima disequazione del sistema utilizzando la formula
\(\displaystyle x_{1,2} =\ \frac {\left ( \frac{b}{2} \right )^2 \pm \sqrt{\left ( \frac{b}{2} \right )^2-ac}}{a} \)
e mi è venuto fuori
\(\displaystyle x_{1} =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{M^2 -2M -1}-1}{2M} \)
\(\displaystyle x_{2} =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{M^2 -2M -1}+1}{2M} \)

A questo punto ho fatto un ragionamento di questo tipo
Calcolando il \(\displaystyle \frac{\Delta}{4} \) dell' equazione associata all'ultima disequazione del sistema
\(\displaystyle 2M^2 x^2 + x[2(M - M^2)] +1 >0 \)
è venuto fuori che \(\displaystyle \frac{\Delta}{4} \le 0 \) per \(\displaystyle 1 - \sqrt{2} \le M \le 1 + \sqrt{2} \)
Il che vuol dire che il numeratore è sempre positivo per ogni x reale(quando M assume i valori compresi in quell'intervallo)
(In effetti ripensandoci non so neanche se questa informazione è utile alla risoluzione del sistema)
In tutti gli altri casi la disequazione è verificata per valori esterni \(\displaystyle x_{1} \le x \le x_{2} \)

Credo abbia sbagliato da qualche parte ma non riesco a capire dove, ho ripetuto i calcoli svariate volte, forse è sbagliato il ragionamento alla base, dovrei trovarmi che la disequazione è verificata per tutte le x di un intorno negativo del punto 1 e invece non è così...aiuto

[ciampax]

Il discriminante dell'ultima disequazione, che ha questa forma $$2M^2x^2+2M(1-M)+1>0$$ risulta essere (non uso la ridotta)
$$4M^2(1-M)^2-8M^2=4M^2[(1-M)^2-2]$$
che risulta positivo per ogni scelta di $M>\sqrt{2}+1$ (cosa che è abbondantemente verificata data la scelta degli $M$). Indico per comodità $m=\sqrt{(1-M)^2-2} $$x<\frac{2M^2-2M-2Mm}{4M^2}=\frac{M-1-m}{2M}=,\qquad x>\frac{2M^2-2M+2Mm}{2M^2}=\frac{M-1+m}{2M}$$
che risultano entrambe positive (la prima dal momento che essendo $m0$). Osserva che posso ancora scrivere
$$x<\frac{1}{2}-\frac{1+m}{2M},\qquad x>\frac{1}{2}+\frac{m-1}{2M}$$
Ora, la prima radice è sicuramente minore di $1/2$. Per la seconda, invece, possiamo osservare che
$$\frac{m-1}{2M}<\frac{M-1-1}{2M}<\frac{1}{2}-\frac{1}{M}<\frac{1}{2}$$
per cui la seconda radice è sicuramente compresa tra $1/2$ e $1$ per ogni $M$. Risolvendo allora il sistema si trova la soluzione (soluzioni contemporaneamente verificate) $\frac{1}{2}+\frac{m-1}{2M}

Cita

Segnala

[Carlo952]

"ciampax":Il discriminante dell'ultima disequazione, che ha questa forma $$2M^2x^2+2M(1-M)+1>0$$ risulta essere (non uso la ridotta)
$$4M^2(1-M)^2-8M^2=4M^2[(1-M)^2-2]$$
che risulta positivo per ogni scelta di $M>\sqrt{2}+1$ (cosa che è abbondantemente verificata data la scelta degli $M$). Indico per comodità $m=\sqrt{(1-M)^2-2} $$x<\frac{2M^2-2M-2Mm}{4M^2}=\frac{M-1-m}{2M}=,\qquad x>\frac{2M^2-2M+2Mm}{2M^2}=\frac{M-1+m}{2M}$$
che risultano entrambe positive (la prima dal momento che essendo $m0$). Osserva che posso ancora scrivere
$$x<\frac{1}{2}-\frac{1+m}{2M},\qquad x>\frac{1}{2}+\frac{m-1}{2M}$$
Ora, la prima radice è sicuramente minore di $1/2$. Per la seconda, invece, possiamo osservare che
$$\frac{m-1}{2M}<\frac{M-1-1}{2M}<\frac{1}{2}-\frac{1}{M}<\frac{1}{2}$$
per cui la seconda radice è sicuramente compresa tra $1/2$ e $1$ per ogni $M$. Risolvendo allora il sistema si trova la soluzione (soluzioni contemporaneamente verificate) $\frac{1}{2}+\frac{m-1}{2M}

Fantastico, spiegazione impeccabile, sei stato d'aiuto , grazie ciampax!

[ciampax]

Prego. Stavo penando che probabilmente puoi "semplificare" qualcosa a priori (tenendo conto che, comunque, quello che ti interessano sono i soli punti del dominio er $x<1$), tuttavia diciamo che questo è il metodo "completo" con tutti i ragionamenti del caso. Se hai bisogno di altro a disposizione.