Problema Topologia
Ciao ragazzi !
Sto cercando di svolgere un problema di Topologia. Dice:
Si consideri lo spazio delle successioni limitate
$ E={x={x_n}_(n=0)^oo; $ \( sup_k|x_k|< \infty \) $ } $
Si dimostri che E è uno spazio metrico completo con la distanza $ d(x,y)=Sup_k|x_k-y_k| $
Una volta dimostrato che è uno spazio metrico, per dimostrare che E è completo, il libro di mi dice di considerare una successione di Cauchy $ { x^((n)) }_(ninmathbb(N) $ :
$ d(x^((m)),x^((n)))bar(n) $
($ bar(n) $ dipende solo da $epsi$ ). Per ogni k, la successione dei numeri $ { x^((n)) }_(ninmathbb(N) $ è di Cauchy in quanto:
$ |x_k^((m))-x_k^((n))|<=Sup_k|x_k^((m))-x_k^((n))| = d(x^((m)),x^((n)))
E poi continua,.... francamente io non ci ho capito molto, a partire dalla nomenclatura..
cosa indica $ { x^((n)) } $ ? E invece $ { x_k^((n)) } $ ?
Boh.. Faccio molta confusione... grazie per l'aiuto
Sto cercando di svolgere un problema di Topologia. Dice:
Si consideri lo spazio delle successioni limitate
$ E={x={x_n}_(n=0)^oo; $ \( sup_k|x_k|< \infty \) $ } $
Si dimostri che E è uno spazio metrico completo con la distanza $ d(x,y)=Sup_k|x_k-y_k| $
Una volta dimostrato che è uno spazio metrico, per dimostrare che E è completo, il libro di mi dice di considerare una successione di Cauchy $ { x^((n)) }_(ninmathbb(N) $ :
$ d(x^((m)),x^((n)))
($ bar(n) $ dipende solo da $epsi$ ). Per ogni k, la successione dei numeri $ { x^((n)) }_(ninmathbb(N) $ è di Cauchy in quanto:
$ |x_k^((m))-x_k^((n))|<=Sup_k|x_k^((m))-x_k^((n))| = d(x^((m)),x^((n)))
E poi continua,.... francamente io non ci ho capito molto, a partire dalla nomenclatura..
cosa indica $ { x^((n)) } $ ? E invece $ { x_k^((n)) } $ ?
Boh.. Faccio molta confusione... grazie per l'aiuto
Risposte
Lo spazio è \(X=\{x_{n}:\sup|x_{n}|<+\infty\}\) (ad es. se \(x_{n}=1,0,0,0,0,...\) allora \(\sup |x_{n}|=1\) e \(x_{n}\in X\)) e la distanza è data da \(\mbox{d}(x_{n},y_{n})=\sup|x_{n}-y_{n}|\) (se \(x_{n}=1,0,0,0,0,...\) e \(y_{n}=0,0,1,0,0,...\) allora \(\mbox{d}(x_{n},y_{n})=\sup\{|1-0|,|0-0|,|0-1|,...\}=1\)) quindi siamo in uno spazio metrico.
Per verificare la completezza devi mostrare che una successione con la proprietà di Cauchy (per ogni \(\epsilon>0\) esiste \(\overline{n}\in \mathbb{N}\) t.c. \(\mbox{d}(x_{n}^{(k_{1})},x_{n}^{(k_{2})})<\epsilon\) per ogni \(k_{1},k_{2}>\overline{n}\)) è convergente. Una successione \(x_{n}^{(k)}\) di punti di \(X\) è una successione di successioni:
\[
\begin{split}
x_{n}^{(1)}&=x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},... \\
x_{n}^{(2)}&=x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)},... \\
\vdots \\
x_{n}^{(k)}&=x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},... \\
\vdots
\end{split}
\]
L'indice \(k\) che distingue le diverse successioni si mette fra partentesi altrimenti sembra che elevi a potenza. A ogni \(k\) corrisponde una successione diversa. Edit: \(x_{n}^{(k)}\) è ad esempio \(x_{1}^{2}\) mentre \(x^{(k)}\) nei tuoi appunti indica successione individuata da \(k\).
Per verificare la completezza devi mostrare che una successione con la proprietà di Cauchy (per ogni \(\epsilon>0\) esiste \(\overline{n}\in \mathbb{N}\) t.c. \(\mbox{d}(x_{n}^{(k_{1})},x_{n}^{(k_{2})})<\epsilon\) per ogni \(k_{1},k_{2}>\overline{n}\)) è convergente. Una successione \(x_{n}^{(k)}\) di punti di \(X\) è una successione di successioni:
\[
\begin{split}
x_{n}^{(1)}&=x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},... \\
x_{n}^{(2)}&=x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)},... \\
\vdots \\
x_{n}^{(k)}&=x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},... \\
\vdots
\end{split}
\]
L'indice \(k\) che distingue le diverse successioni si mette fra partentesi altrimenti sembra che elevi a potenza. A ogni \(k\) corrisponde una successione diversa. Edit: \(x_{n}^{(k)}\) è ad esempio \(x_{1}^{2}\) mentre \(x^{(k)}\) nei tuoi appunti indica successione individuata da \(k\).
Ho editato il messaggio perché ho scritto male alcune cose.
ok... nel libro c'è scritto che $ {x^((n))} $ è una successione di Cauchy, non $ {x^((k))} $, ma non penso cambi qualcosa...
quello che non capisco è:
Se all'inizio lui dice che in questo spazio E le successioni sono indicate copn l'inidice n in basso (ovvero con $x_n$ ) perchè poi cambia modo di indicarle (ovvero con $ {x^((n))} $ ) ?
quello che non capisco è:
Se all'inizio lui dice che in questo spazio E le successioni sono indicate copn l'inidice n in basso (ovvero con $x_n$ ) perchè poi cambia modo di indicarle (ovvero con $ {x^((n))} $ ) ?
Quella con l'indice in alto è la successione di successioni. Quella con l'indice in basso è una successione di \(E\) corrispondente al suo indice \(k\) o una successione e basta quando non fa parte della successione di successioni contraddistinta da \(k\).
Salve, qualcuno riesce a dimostrare questo risutato ?
Io farei così:
Dimostrerei che le successioni di successioni limitate sono di cauchy.
Se queste successioni sono a valori in uno spazio completo queste hanno sempre limite.
Questi sono i passaggi ma non riesco ad esplicitarli!
Vi ringrazio.
Io farei così:
Dimostrerei che le successioni di successioni limitate sono di cauchy.
Se queste successioni sono a valori in uno spazio completo queste hanno sempre limite.
Questi sono i passaggi ma non riesco ad esplicitarli!
Vi ringrazio.
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