Problema sull'uso dell'integrale nelle successioni di funzi

[Viator]

Salve
nel teorema del passaggio al limite sotto al segno di derivata
spiegato in questa discussione
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?t=52704&p=379559
c'è un passaggio in cui viene detto che una la funzione g è integrabile perche continua

Ora, io so che la condizione di continuità non è necessaria per l'integrabilità

Quindi perche richiedere la continuita della funzione?
o sono io che non ho capito?

grazie

[Rigel1]

Se supponi che le \(f_n\) siano di classe \(C^1\), la funzione \(g\) viene automaticamente continua (e quindi integrabile) essendo limite uniforme di funzioni continue.
Quel teorema vale anche richiedendo che le \(f_n\) siano solo differenziabili, ma in tal caso la dimostrazione è decisamente più complicata (la trovi su Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Thm. 7.17).

[Viator]

quello che vorrei sapere è se sia(in generale) necessaria la continuità della funzione affinche questa sia integrabile

[Rigel1]

No. Ad esempio, una qualsiasi funzione \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) monotona è integrabile secondo Riemann.
(Ma non capisco cosa questo abbia a che vedere col teorema di passaggio al limite sotto derivata.)

[Viator]

ok grazie

la domanda sorge dal fatto che sul mio libro(analisi 2 di marcellini sbordone) la dimostrazione del teorema viene fatta richiedendo la continuità di g affinche questa sia integrabile
ero solo curioso di sapere perche richiedeva la continuita se tale condizione non è necessaria per essere integrabile