Problema sulle serie
Ciao, propongo al forum il seguente esercizio:
Una palla ha la proprietà di rimbalzare ad un'altezza esattamente uguale al 70% di quella da cui è caduta al rimbalzo precedente. Se questa palla viene inizialmente lasciata cadere da un'altezza di 10m e supponiamo che rimbalzi indefinitamente, qual è la distanza totale che percorre?
Una palla ha la proprietà di rimbalzare ad un'altezza esattamente uguale al 70% di quella da cui è caduta al rimbalzo precedente. Se questa palla viene inizialmente lasciata cadere da un'altezza di 10m e supponiamo che rimbalzi indefinitamente, qual è la distanza totale che percorre?
Risposte
"giampfrank":
Ciao, propongo al forum il seguente esercizio:
Una palla ha la proprietà di rimbalzare ad un'altezza esattamente uguale al 70% di quella da cui è caduta al rimbalzo precedente. Se questa palla viene inizialmente lasciata cadere da un'altezza di 10m e supponiamo che rimbalzi indefinitamente, qual è la distanza totale che percorre?
In generale se viene fatta cadere da un altezza $H$ la distanza che percorrerà è
$H+7/10 H +(7/10)^2 H +(7/10)^3 H +...$
quindi $H/(1-(7/10))=10H/3$.
Ciao!
Secondo me puoi fare così:
Ricordando che l'energia potenziale è direttamente proporzionale all'altezza dopo che la palla tocca terra e rimbalza la sua nuova altezza sarà: $h_1=10\cdot0.70 \text{metri}$ e lo spazio percorso $y_1=2\cdot10\cdot0.70 \text{metri}$. Se il processo continua per $n$ rimbalzi allora si puo usare questa serie per calcolare lo spazio percorso totale:
$\sum_{n=0}^{+\infty}y_n$ che considerando anche l'altezza da cui cade la palla prima del priimo rimbalzo diventa:
$10+2\cdot10\sum_{n=1}^{+\infty}(0.7)^n=-10+20\sum_{n=0}^{+\infty}(0.7)^n$ che come sappiamo è una serie geometrica che converge avendo ragione minore di uno in valore assoluto.
In generale:
$\sum_{n=0}^{+\infty}a^n=1/{1-a} : |a|<1$
In questo caso quindi la serie converge:
$-10+20\sum_{n=0}^{+\infty}(0.7)^n=-10+20 1/{1-0.7}\approx56.67\text{metri}
Ricordando che l'energia potenziale è direttamente proporzionale all'altezza dopo che la palla tocca terra e rimbalza la sua nuova altezza sarà: $h_1=10\cdot0.70 \text{metri}$ e lo spazio percorso $y_1=2\cdot10\cdot0.70 \text{metri}$. Se il processo continua per $n$ rimbalzi allora si puo usare questa serie per calcolare lo spazio percorso totale:
$\sum_{n=0}^{+\infty}y_n$ che considerando anche l'altezza da cui cade la palla prima del priimo rimbalzo diventa:
$10+2\cdot10\sum_{n=1}^{+\infty}(0.7)^n=-10+20\sum_{n=0}^{+\infty}(0.7)^n$ che come sappiamo è una serie geometrica che converge avendo ragione minore di uno in valore assoluto.
In generale:
$\sum_{n=0}^{+\infty}a^n=1/{1-a} : |a|<1$
In questo caso quindi la serie converge:
$-10+20\sum_{n=0}^{+\infty}(0.7)^n=-10+20 1/{1-0.7}\approx56.67\text{metri}
"cavallipurosangue":
Secondo me puoi fare così:
Ricordando che l'energia potenziale è direttamente proporzionale all'altezza dopo che la palla tocca terra e rimbalza la sua nuova altezza sarà: $h_1=10\cdot0.70 \text{metri}$ e lo spazio percorso $y_1=2\cdot10\cdot0.70 \text{metri}$. Se il
è giusto però quella è una palla ideale, se cade da un altezza risale per il 70% dell'altezza, direi che la mia soluzione generale sia corretta...
Ciao!
Scusa non capisco... è ovvio che non è una palla ideale, sennò non avrebbe perso energia ad ogni rimbalzo. Noi abbiamo supposto che tutta l'energia venga dissipata durante il rimbalzo, quindi quando è in aria si ha che l'enegia meccanica totale si conserva. Tutto per dire che da subito dopo il primo rimbalzo fino a subito prima il secondo lo spazio percorso è il doppio dell'altezza raggiunta, e da lì ecco il risultato.
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