Problema sulle funzioni in più variabili
Salve ho un piccolo problema da proporre:
Su di un piatto metallico, il cui centro coincide con l'origine degli assi, la temperatura nel
punto (x; y) è governata dalla legge
$T(x; y) = x^2 + 2y^2 - x$:
Una formica si muove a partire dal centro del piatto, spostandosi ad una distanza massima
di una unità dal centro stesso.
Quali sono la temperatura massima e minima che la formica eventualmente percepirà?
Io andrei a calcolare la derivata direzionale che risulterà essere $(dT)/(ds)= (2x-1)cos\theta +4ysen\theta$,
ora io come $\theta=45°$ visto che si sposta di una unità e quindi (1,1) sarà lungo la bisettrice. Per la temperatura massima la calcolerei nell'origine sempre con $\theta=45°$, per la minima stesso angolo ma in (1,1) è giusto?
Grazie per l'aiuto
Su di un piatto metallico, il cui centro coincide con l'origine degli assi, la temperatura nel
punto (x; y) è governata dalla legge
$T(x; y) = x^2 + 2y^2 - x$:
Una formica si muove a partire dal centro del piatto, spostandosi ad una distanza massima
di una unità dal centro stesso.
Quali sono la temperatura massima e minima che la formica eventualmente percepirà?
Io andrei a calcolare la derivata direzionale che risulterà essere $(dT)/(ds)= (2x-1)cos\theta +4ysen\theta$,
ora io come $\theta=45°$ visto che si sposta di una unità e quindi (1,1) sarà lungo la bisettrice. Per la temperatura massima la calcolerei nell'origine sempre con $\theta=45°$, per la minima stesso angolo ma in (1,1) è giusto?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Ciao the world, io estrarrei da tutta la "favoletta" solo la parte matematica: data la funzione f trova il minimo e il massimo all'interno del cerchio con centro coincidente con l'origine e raggio 1. Almeno se ho interpretato correttamente il testo.
Nel punto $P(1;1)$ la distanza dall'origine è maggiore di una unità.
Nel punto $P(1;1)$ la distanza dall'origine è maggiore di una unità.
Si tralasciando la favoletta, l'ho postato proprio perchè non so se ho interpretato bene la traccia e se quello che ho fatto è giusto. Forse però facendo in quel modo trovo la velocità di variazione di T. Come devo fare altrimenti?
perdonami non capisco cosa voglia dire "velocità di variazione", se non ho interpretato male la situazione è stazionaria: la temperatura di ciascun punto non varia col passare del tempo.
e quindi non ci sarà una temperatura massima e una minima? e in caso come la trovo la soluzione?
No una temperatura minima e una massima secondo me ci sono, come minima ho trovato
$T=-1/4=-0,25$ in corrispondenza di $P(1/2;0)$.
$T=-1/4=-0,25$ in corrispondenza di $P(1/2;0)$.
il massimo lo trovo calcolando il gradiente e ponendo le coodinate =0, e la stessa cosa faccio èer il minimo calcolando però il meno gradiente?
Non ho capito...
per calcolare il massimo della temperatura e il minimo,posso calcolare il gradiente quindi successivamente pongo la x e la y del gradiente =0 e trovo il massimo,per trovare il minimo basta che cambio il segno alla x e y del gradiente e pongo di nuovo =0?
"the world":
per calcolare il massimo della temperatura e il minimo,posso calcolare il gradiente quindi successivamente pongo la x e la y del gradiente =0 e trovo il massimo
Così trovi un punto (o i punti) stazionario, poi devi determinarne la natura (massimo, minimo, sella).
Visto che ci troviamo un vincolo dobbiamo anche accertarci che il punto stazionario appartenga al vincolo.
ma io non so che il massimo si ha nella direzione del gradiente e il minimo nel suo opposto? quindi basta fare +grad =0 e trovo il massimo e -grad =0 e trovo il minimo. Altrimenti come posso fare? é questo che sto cercando di capire
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