Problema sulla positività di una funzione logaritmica

[ifiore93]

Buon pomeriggio a tutti,
scusate il disturbo ma sto avendo delle difficoltà nello svolgere la positività di tale funzione:

$log[(|x+1|)/(x^2+7*x+10)]$

Riguardo il dominio di questa funzione ho posto:
x diverso -1
x<-5 e x>-2
Quindi ho cancellato la parte compresa tra -5 e -4.Spero che sia giusto almeno questo.
Grazie in anticipo.

[gio73]

Ciao e benvenuta/o sul forum,
nessun disturbo: chi ti risponde lo fa liberamente.
Ho modificato il tuo messaggio aggiungendo il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine della formula della tua funzione, va bene?
Mi sembra che le tue conclusioni siano corrette. Ora mi pare che la tua domanda sia: quando la funzione è positiva e quando no, giusto? Allora dimmi come deve essere l'argomento affinchè il logaritmo (base e o base10?) sia positivo?

[ifiore93]

L'argomento del logaritmo (credo in base 10) deve essere maggiore o uguale di 1.Giusto?

[Lorin1]

Iniziamo dal dominio:
1) Argomento del logaritmo maggiore di zero
2) Denominatore diverso da zero. (è una cosa in più, bastava la prima condizione)

Fai un pò di conti e vediamo cosa ti trovi...

[ifiore93]

Allora partendo dal numeratore:
X>-1
Denominatore:
Delta >0 x<-5 e x>-2
Vado a fare la tabella dei segni e i valori sono:
-5-1
Giusto?

[gio73]

@Freezix: sì

"Lorin":Iniziamo dal dominio:
1) Argomento del logaritmo maggiore di zero
2) Denominatore diverso da zero. (è una cosa in più, bastava la prima condizione)
Fai un pò di conti e vediamo cosa ti trovi...

Io li ho fatti, adesso aspetto Freezix per confrontarmi.

[ifiore93]

Sono giusti i miei conti?

[ifiore93]

Allora ho posto l'argomento del logaritmo maggiore o uguale di 1.
Portando 1 dall'altra parte avremo :
$(-x^2-6x-9)/(x^2+7x+10)$maggiore uguale di 0
Vado a risolvere il numeratore che equivale a (x+3)^2 che non è mai minore o uguale a zero (visto che c'è un meno).
Il denominatore ha valori : x<-5 e x>-2.
Faccio la tabella dei segni aggiungendo -1 e ottengo:
-5 -2 -1
------------------------
++++-----+++++++++
- + - -
Quindi positiva fra -5 e -2
Che ne dite?

[gio73]

"Freezix":Allora partendo dal numeratore:
X>-1
Denominatore:
Delta >0 x<-5 e x>-2
Vado a fare la tabella dei segni e i valori sono:
-5-1
Giusto?

Veramente avevo risposto sì al primo post, perchè qui non mi trovo (ricorda che al numeratore hai un valore assoluto):
per me $x!=-1$

$x<-5$ e $x> -2$

[ifiore93]

Quindi il dominio è $x<-5$ e $x>-2$?Perchè?$x>-1$ non si pone?
È giusta la mia positività?

[gio73]

"Freezix":Buon pomeriggio a tutti,
scusate il disturbo ma sto avendo delle difficoltà nello svolgere la positività di tale funzione:

$log[(|x+1|)/(x^2+7*x+10)]$

Sbaglio o al numeratore c'è un valore assoluto?

[ifiore93]

Ed è proprio quello che non ho capito.Quando ho il valore assoluto come mi devo comportare?!Parlo sia del dominio che della positività...

[gio73]

Allora, è molto più semplice di quanto credi.
$|+2|=2$ o anche $|+2|=+(+2)=2$
$|-9|=9$ o anche $|-9|=-(-9)=9$
$|0|=0$
qualsiasi cosa tu metta nel valore assoluto lo devi considerare senza segno, prendiamo solo il suo valore assoluto che sarà sempre non negativo, quindi o 0 o un numero positivo.
se dentro il valore assoluto ti trovi una variabile ad esempio $|x|$ devi fare in modo che sia sempre non negativa quindi dividiamo il tutto in due casi e diremo:
$|x|=x$ se $x>=0$
$|x|=-x$ se $x<0$

se invece, come nel nostro caso, abbiamo $|x+1|$
$|x+1|=x+1$ se $x>=-1$
$|x+1|=-x-1$ se $x<-1$

Ci sei fino qui?

[ifiore93]

Quindi quando vado a risolvere la tabella dei segni per il dominio devo porre sia x maggiore o uguale di -1 che x<-1?

[ifiore93]

Forse ho capito:
devo porre x diverso da -1 visto che c'è un valore assoluto.
Quando vado a porre l'argomento maggiore o uguale di zero allora al numeratore avrò una quantità sempre maggiore o uguale di zero perchè è un valore assoluto e poi al denominatore i valori esterni $x<-5$ e $x> -2$.
Vado a fare la tabella dei segni e mi escono i valori $x<-5$ e $x> -2$.
Giusto?
E riguardo la positività il mio pcocedimento precedente è giusto?

[gio73]

"Freezix": Forse ho capito:
devo porre x diverso da -1 visto che c'è un valore assoluto.

No, non per questa ragione, 0 è un gran bel numero e il suo valore assoluto sempre 0 è; il problema è che l'argomento del logaritmo non può essere 0.

"Freezix":
Quando vado a porre l'argomento maggiore o uguale di zero *allora al numeratore avrò una quantità sempre maggiore o uguale di zero perchè è un valore assoluto e poi al denominatore i valori esterni $x<-5$ e $x> -2$.
Vado a fare la tabella dei segni e mi escono i valori $x<-5$ e $x> -2$.
Giusto?

Sostanzialmente sì,
ricapitoliamo il dominio, poi passiamo al resto.

* vale quel che ho detto prima

[ifiore93]

Quindi pongo x diverso da -1 perche l'argomento di un logaritmo non può mai essere 0.
Pongo l'argomento maggiore di 0.
Numeratore maggiore di 0 per ogni x appartenente al dominio.
Denominatore ha valore $x< -5$ e $x> -2$.
Quindi $x< -5$ e $x> -2$ è il dominio

[gio73]

Sì, ricordiamoci sempre del "buco" $x!=-1$.
Ora andiamo avedere dove la funzione è positiva (argomento maggiore di 1), negativa (argomento compreso tra 0 e 1), e dove incontra l'asse delle x (argomento uguale a 1)
Non mi ricordo più se la base del nostro logaritmo è $10$ o $e$... me lo ricordi per favore?

[ifiore93]

in base 10

[gio73]

bene, procedi: dopo pranzo controllo.

[ifiore93]

"Freezix":Allora ho posto l'argomento del logaritmo maggiore o uguale di 1.
Portando 1 dall'altra parte avremo :
$(-x^2-6x-9)/(x^2+7x+10)$maggiore uguale di 0
Vado a risolvere il numeratore che equivale a (x+3)^2 che non è mai minore o uguale a zero (visto che c'è un meno).
Il denominatore ha valori : x<-5 e x>-2.
Faccio la tabella dei segni aggiungendo -1 e ottengo:
-5 -2 -1
------------------------
++++-----+++++++++
- + - -
Quindi positiva fra -5 e -2
Che ne dite?

Questo va bene?