Problema sulla positività di una funzione logaritmica

[ifiore93]

Buon pomeriggio a tutti,
scusate il disturbo ma sto avendo delle difficoltà nello svolgere la positività di tale funzione:

$log[(|x+1|)/(x^2+7*x+10)]$

Riguardo il dominio di questa funzione ho posto:
x diverso -1
x<-5 e x>-2
Quindi ho cancellato la parte compresa tra -5 e -4.Spero che sia giusto almeno questo.
Grazie in anticipo.

[ifiore93]

Credo che la funzione intersechi l'asse x nel punto (-3,0)

[gio73]

ma $x=-3$ non lo possiamo prendere perchè

"Freezix":
Quindi $x< -5$ e $x> -2$ è il dominio

Non possiamo stare a parlare del valore assoluto quando cerchiamo il campo di esistenza della funzione per poi dimenticarcelo nello step successivo.
Come ti dicevo per semplificarci la vita dovremmo fare in modo che il nostro valore assoluto sia sempre positivo, dunque la nostra funzione diventa

$f(x)=log ((x+1)/((x+5)(x+2)))$ se $x > -1$
$f(x)=log ((-x-1)/((x+5)(x+2)))$ se $x < -1$
come abbiamo già detto non esiste nell'intervallo $(-5;-2)$ e per $x=-1$

A questo punto facciamo i nostri conti con la prima (ricorda ci stiamo muovendo su x magggiori di -1)
risolvo come te la seguente disequazione:
$ (x+1)/((x+5)(x+2))>1$
salto i passaggi
$(x+3)^2<0$ e non capita mai per $x> -1$
dunque il nostro argomento è sempre inferiore a 1 e quindi la nostra funzione lì sarà sempre negativa.

[ifiore93]

Scusa se ti disturbo ancora,ma voglio capire alcune cose:
in questa funzione quindi devo distinguere due casi per calcolare il segno di tale funzione.
Sei andato a calcolarti il primo caso e non hai trovato dei valori $x> -1$.Giusto?
Allora che significa questo:
la funzione dopo -1 assume valori sia positivi che negativi?
Il secondo caso quando $x< -1$ è inutile studiarlo?

[gio73]

"Freezix":Scusa se ti disturbo ancora,

Nessun disturbo

"Freezix":
ma voglio capire alcune cose:
in questa funzione quindi devo distinguere due casi per calcolare il segno di tale funzione.
Sei andato a calcolarti il primo caso e non hai trovato dei valori $x> -1$.Giusto?
Allora che significa questo:
la funzione dopo -1 assume valori sia positivi che negativi?
Il secondo caso quando $x< -1$ è inutile studiarlo?

Se non ho preso granchi giganteschi, dopo* -1 la nostra funzione è sempre negativa.
Ora dobbiamo studiare cosa succede quando $x<-1$, dobbiamo quindi considerare
$f(x)=log((-x-1)/((x+5)(x+2)))$ e ricordarci che tra -2 e -5 la funzione non è definita
per sapere dove la nostra funzione è positiva dobbiamo risolvere la seguente disequazione
$(-x-1)/((x+5)(x+2))>1$
a te la palla

*con dopo intendiamo valori più grandi, vero?

[ifiore93]

Quindi per x> -1 la funzione ha valori negativi?
Sono andato a calcolarmi il secondo caso e ottengo:
numeratore : $ -4-radical 5 denominatore : x< -5 e x> -2
Ora?

[gio73]

"Freezix":Quindi per x> -1 la funzione ha valori negativi?

Sì se non ho sbagliato i conti

"Freezix":
Sono andato a calcolarmi il secondo caso e ottengo:
numeratore : $ -4-radical 5
viene così anche a me

"Freezix":
denominatore : x< -5 e x> -2

non capisco cosa c'entra, non avevamo già fatto in modo che il denominatore fosse sempre positivo escludendo l'intervallo $[-5;-2]$?

"Freezix":Ora?

Ora spremiti le meningi e fatti un disegno: lungo la retta orientata devi marcarti i punti importanti
$x=-1$
$x=-4+sqrt5$
$x=-2$
$x=-5$
$x=-4-sqrt5$

Personalmente faccio molti errori di distrazione di conseguenza cerco sempre di trovare una conferma dei miei risultati, quindi ho calcolato i vari limiti e svolto le verifiche dei risultati.
Ora confrontiamoci: dimmi dove la funzione è positiva, dove negativa e dove incontra l'asse delle x.

[ifiore93]

È negativa prima di -4-radical5,tra -4+radical5 e -1,dopo -1 è negativa
È positiva tra -4-radical5 e -5 e tra -2 e -4+radical 5

[gio73]

Evviva!
E' lo stesso risultato che ho ottenuto io!
per scrivere la radice quadrata devi scrivere "sqrt(...)", tutto tra i segni del dollaro, dopo il trentesimo messaggio l'uso delle formule diventa obbligatorio. Ora per concludere dimmi dove la funzione incontra l'asse delle x.

[ifiore93]

$-4-sqrt(5)$ e $-4+sqrt(5)$

[ifiore93]

Quindi studiare il segno di tale funzione significa farlo di due in uno.Non so se mi spiego.Ora voglio capire una cosa:
Dopo che ho studiato il segno per $x>-1$ devo fare una tabella dei segni?Credo di si.Analogamente dovrei farlo per il secondo caso cioè $x< -1$.Quando devo cancellare le parti del grafico come devo fare?Cioè devo cancellare in base a quale delle due tabelle dei segni?Sto diventando pazzo.E tu più di me visto per colpa mia.

[gio73]

"Freezix":$-4-sqrt(5)$ e $-4+sqrt(5)$

Sono d'accordo

[gio73]

"Freezix":Sto diventando pazzo.E tu più di me visto per colpa mia.

Relax
io non sono una cima e faccio tanti errori di distrazione, allora metto in atto delle strategie per non fare casino:
non cerco di imparare tanti casi particolari, mi confonderei di più
cerco di pensare ad un problema per volta
cerco una verifica dei risultati ottenuti

In bocca al lupo, facci sapere.