Problema sul teorema di Stokes con proposta di soluzione
Salve a tutti la problematica è la seguente: Mediante il teorema di Stokes mostrare che
$\oint_\gammaydx+zdy+xdz=sqrt(3)pia^2$
Dove $\gamma$ è l'intersezione, orientata convenientemente, di $x^2+y^2+z^2=a^2$ e $x+y+z=0$
Allora, dopo aver osservato che
$\Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb{R^3}:x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0}$
è la superficie che giace sul piano $x+y+z=0$, procedo con la sua parametrizzazione $h(u,v)=(u,v,-u-v)$, dopo procedo con
il calcolo del versore normale $\nu=(1,1,1)$, nonché con il calcolo di $rotF=(-1,-1,-1)$, poi a quanto pare questa non è la normale che mi serve, quindi scelgo $-\nu$ e svolgo l'integrale di flusso dove come dominio considero
$D=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x^2+y^2<=a^2}$
Svolgendo l'integrale mi viene $3a^2pi$.
Allora non contento, decido di utilizzare queste informazioni per arrivare alla parametrizzazione della curva $\gamma$, e trovo $\gamma=(asint,acost,-asint-acost)$ dove $t$ varia tra $0$ e $2pi$
trovando ancora lo stesso risultato.
Ovviamente c'è l'errore ma non so dove.....
Vi ringrazio
$\oint_\gammaydx+zdy+xdz=sqrt(3)pia^2$
Dove $\gamma$ è l'intersezione, orientata convenientemente, di $x^2+y^2+z^2=a^2$ e $x+y+z=0$
Allora, dopo aver osservato che
$\Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb{R^3}:x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0}$
è la superficie che giace sul piano $x+y+z=0$, procedo con la sua parametrizzazione $h(u,v)=(u,v,-u-v)$, dopo procedo con
il calcolo del versore normale $\nu=(1,1,1)$, nonché con il calcolo di $rotF=(-1,-1,-1)$, poi a quanto pare questa non è la normale che mi serve, quindi scelgo $-\nu$ e svolgo l'integrale di flusso dove come dominio considero
$D=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x^2+y^2<=a^2}$
Svolgendo l'integrale mi viene $3a^2pi$.
Allora non contento, decido di utilizzare queste informazioni per arrivare alla parametrizzazione della curva $\gamma$, e trovo $\gamma=(asint,acost,-asint-acost)$ dove $t$ varia tra $0$ e $2pi$
trovando ancora lo stesso risultato.
Ovviamente c'è l'errore ma non so dove.....
Vi ringrazio
Risposte
Quello che hai calcolato non è un versore.. La norma di \( \nu \) è infatti \( \sqrt{3} \).. Per ulteriori commenti sarebbe tuttavia necessario vedere i calcoli che hai fatto.
Si, perdonami, quello è il vettore normale, la norma non mi serve visto che poi calcolando un integrale di flusso, quindi un integrale di superficie, avrei un' identica norma che si semplifica.....
Come ti ho scritto, senza vedere i calcoli non è possibile trovare dove hai fatto un errore. Dal punto di vista logico mi sembra vada tutto bene.
Allora ecco i calcoli richiesti:
Allora parto dall'osservazione che la superficie in esame è
$\Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb{R^3}:x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0}$
La quale giace sul piano $x+y+z=0$, parametrizzo la superficie $\Sigma$ come $h(u,v)=(u,v,-u-v)$ dopodiché trovo il vettore normale $N=(1,1,1)$, poi passo al calcolo del $rotF=(-1,-1,-1)$
quindi al calcolo dell integrale, siccome l'esercizio mi dice di orientare convenientemente, prendo $-N$
$\int_Sigmad\sigma=3\int_Ddxdy$, dove $D=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x^2+y^2<=a^2}$
quindi,
$3\int_Ddxdy=3\int_0^(2pi)d\theta\int_0^a\rhod\rho=3pia^2$
Poi visto che il risultato non mi viene, decido di non applicare il teorema di Stokes e di calcolare direttamente l'integrale di forma.
Parto dalla parametrizzazione della superficie $h(u,v)=(u,v,-u-v)$, poi, parametrizzo il bordo di $D$ convenientemente ossia
$\partialD=(asint, acost)$ quindi,
$\gamma=(asint, acost,-asint-acost)$ dunque
$\oint_\gammaydx+zdy+xdz=$
$=int_0^(2pi)acost(acost)+(-asint-acost)(-asint)+(asint)(-acost+asint)dt=$
$=\int_0^(2pi)2a^2sin^2t+a^2costdt=3pia^2$
Allora parto dall'osservazione che la superficie in esame è
$\Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb{R^3}:x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0}$
La quale giace sul piano $x+y+z=0$, parametrizzo la superficie $\Sigma$ come $h(u,v)=(u,v,-u-v)$ dopodiché trovo il vettore normale $N=(1,1,1)$, poi passo al calcolo del $rotF=(-1,-1,-1)$
quindi al calcolo dell integrale, siccome l'esercizio mi dice di orientare convenientemente, prendo $-N$
$\int_Sigma
quindi,
$3\int_Ddxdy=3\int_0^(2pi)d\theta\int_0^a\rhod\rho=3pia^2$
Poi visto che il risultato non mi viene, decido di non applicare il teorema di Stokes e di calcolare direttamente l'integrale di forma.
Parto dalla parametrizzazione della superficie $h(u,v)=(u,v,-u-v)$, poi, parametrizzo il bordo di $D$ convenientemente ossia
$\partialD=(asint, acost)$ quindi,
$\gamma=(asint, acost,-asint-acost)$ dunque
$\oint_\gammaydx+zdy+xdz=$
$=int_0^(2pi)acost(acost)+(-asint-acost)(-asint)+(asint)(-acost+asint)dt=$
$=\int_0^(2pi)2a^2sin^2t+a^2costdt=3pia^2$
Ho provato a svolgere i calcoli e a controllare i tuoi e mi torna quello che hai scritto. Suppongo quindi ci sia un errore nel testo dell'esercizio.
"elatan":
Si, perdonami, quello è il vettore normale, la norma non mi serve visto che poi calcolando un integrale di flusso, quindi un integrale di superficie, avrei un' identica norma che si semplifica.....
Occhio che non puoi prendere un vettore non normalizzato e "ruotare" implicitamente il dominio, sta li l'errore.
La semplificazione di cui parli si applicherebbe nel caso che tu facessi l'integrale sulla proiezione del dominio sul piano xy, ma tu non fai l'integrale sulla proiezione, ma sul dominio stesso.
Vedendola da un altro punto di vista, hai fatto implicitamente una rotazione del domino e l'hai reso parallelo al piano su cui fai spazzolare l'integrale (in coordinate polari).
Riguardo al fatto che ti viene un risultato uguale nella parametrizzazione della curva, anche in questo caso fai un errore simile: la proiezione della frontiera $\gamma$ sul piano xy è una ellisse, mentre tu la parametrizzi come $(a\cosx, a\sinx, ...)$, ovvero qualcosa che proietta una circonferenza sul piano xy.
Per trovare la giusta proiezione devi mettere a sistema
$ x^2+y^2+z^2=a^2$ con $x+y+z=0 $ ovvero esplicitare la $z$ della 2° equazione, elevare al quadrato, e sostituire nella $z^2$ della 1° eq.
Anche qui, aver considerato un cerchio al posto dell'ellisse, e grazie alla linearita' del campo vettoriale, ha fatto in modo di avere un fattore $\sqrt3$ di troppo.
Perfetto.... Grazie per il tempo.
A quanto pare sono più arrugginito di quanto pensassi su queste cose..
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