Problema sul gradiente
Mi è capitato un esercizio dove data la seguente funzione a due incognite:
$ f(x,y)=x^2-3xy-y^2+2x $ mi è chiesto di stabilire in quali punti il gradiente è parallelo alla bisettrice del I quadrante.
Per prima cosa allora ho svolto le derivate prime rispetto ad x ed y:
$ f'(x)=2x-3y+2 $ e $ f'(y)=-3-2y $. Sapendo che il coefficiente angolare della retta y=x è proprio uno dovrei quindi trovare una retta con lo stesso coefficiente, ma non saprei proprio andare avanti non avendo alcuna idea su come svolgerlo.
Qualcuno può aiutarmi?
$ f(x,y)=x^2-3xy-y^2+2x $ mi è chiesto di stabilire in quali punti il gradiente è parallelo alla bisettrice del I quadrante.
Per prima cosa allora ho svolto le derivate prime rispetto ad x ed y:
$ f'(x)=2x-3y+2 $ e $ f'(y)=-3-2y $. Sapendo che il coefficiente angolare della retta y=x è proprio uno dovrei quindi trovare una retta con lo stesso coefficiente, ma non saprei proprio andare avanti non avendo alcuna idea su come svolgerlo.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Quella \(x\) e quella \(y\) non sono incognite ma variabili: per quanto tipicamente si esprimano con le stesse lettere, questi due concetti sono molto diversi, ti consiglio di rifletterci un po'.
Comunque. L'esercizio si riduce ad un sistema di equazioni lineari una volta capito qual è un vettore di direzione della bisettrice del primo quadrante. Infatti, se questo vettore è \((v_1, v_2)\), sarà sufficiente risolvere il sistema
\[\begin{cases}2x-3y+2=v_1 \\ -3-2y=v_2 \end{cases}.\]
Comunque. L'esercizio si riduce ad un sistema di equazioni lineari una volta capito qual è un vettore di direzione della bisettrice del primo quadrante. Infatti, se questo vettore è \((v_1, v_2)\), sarà sufficiente risolvere il sistema
\[\begin{cases}2x-3y+2=v_1 \\ -3-2y=v_2 \end{cases}.\]
Il gradiente di $f(x,y) =grad f(x,y)= (2x-3y+2,-3x-2y )$ -c'è un errore nel tuo cacolo di $f_y $.
Il gradiente è un vettore : se si vuole che sia parallelo alla bisettrice del I e III quadrante bisogna che le sue componenti siano tra loro....
Il gradiente è un vettore : se si vuole che sia parallelo alla bisettrice del I e III quadrante bisogna che le sue componenti siano tra loro....
Allora per quanto riguarda i calcoli si, ho scritto male un meno e per quello nessun problema. Per quanto riguarda il vettore gradiente dev'essere parallelo alla bisettrice quindi le sue componenti sono tra loro lineaermente dipendenti giusto? E come lo svolgo? grazie.
Nessuno che mi può aiutare?
Ma cosa altro ti serve? Sia io sia Camillo ti abbiamo messo completamente in condizione di risolvere l'esercizio (e nota che i metodi da noi proposti sono equivalenti: difatti, con le notazioni del mio post, un vettore di direzione della bisettrice è \((v_1, v_2)=(1, 1)\)). Resta soltanto da fare qualche conticino.
No è che non capisco che calcoli fare...cioè alle fine il tutto si risolverebbe con il sistema ?
\[\begin{cases}2x-3y+2=1\\ -3-2y=1 \end{cases}.\]
e quindi troverei il punto $ (5/2;-2) $ è corretto cosi?
\[\begin{cases}2x-3y+2=1\\ -3-2y=1 \end{cases}.\]
e quindi troverei il punto $ (5/2;-2) $ è corretto cosi?
Aspetta, aspetta, ho detto una fesseria, perdonami. \( (v_1, v_2)=(1, 1) \) è un particolare vettore di direzione della bisettrice, ma ce ne sono anche altri: per esempio anche \((2, 2)\) lo è. In generale un vettore \((v_1, v_2)\) è di direzione della bisettrice se e solo se \((v_1, v_2)=(\lambda, \lambda)\) per un \(\lambda \ne 0\). Quindi il sistema corretto da risolvere è
\[\begin{cases}2x-3y+2=\lambda\\ -3-2y=\lambda \end{cases}\]
ovvero, devi risolvere una sola equazione:
\[2x-3y+2=-3-2y\]
e questo è esattamente quanto diceva in mezza riga il nostro Camillo: perché un vettore sia di direzione della bisettrice del primo quadrante occorre che le sue due componenti siano uguali (non linearmente dipendenti come dici tu: parliamo di componenti, che sono scalari, non di vettori).
\[\begin{cases}2x-3y+2=\lambda\\ -3-2y=\lambda \end{cases}\]
ovvero, devi risolvere una sola equazione:
\[2x-3y+2=-3-2y\]
e questo è esattamente quanto diceva in mezza riga il nostro Camillo: perché un vettore sia di direzione della bisettrice del primo quadrante occorre che le sue due componenti siano uguali (non linearmente dipendenti come dici tu: parliamo di componenti, che sono scalari, non di vettori).
Ah okok perfetto grazie a tutti per l'aiuto ora è tutto chiaro 
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