Problema sui massimi e i minimi

[jivi85]

vi propongo questo quesito:
Tra tutti i cilindri di raggio r inscritti in una sfera di raggio r, qual è quello di volume massimo?

[@melia]

Mi sembra che ci sia qualcosa che non va nel testo. Un cilindro inscritto in una sfera e tutti e due con raggio r?

[dissonance]

quoto @melia. Forse va tolta l'ipotesi che il cilindro abbia raggio r?

[jivi85]

Errata corrige: fra tutti i cilindri inscritti in una medesima sfera di raggio r, qual è quello di volume massimo?

[@melia]

Se tracci una sezione della figura con un cerchio e un rettangolo inscritto, detta 2x l'altezza del rettangolo (e anche del cilindro), con $0<=x<=r$, per il teorema di Pitagora il raggio di base del cilindro è $sqrt(r^2-x^2)$, il volume del cilindro è dato da
$V(x)=pi*(sqrt(r^2-x^2))^2*2x=2pi*x*(r^2-x^2)$,
si tratta di una funzione della quale devi trovare il massimo nell'intervallo chiuso e limitato $0<=x<=r$

[jivi85]

uhm, ci sto pensando ma non mi trovo, forse perchè non riesco a immaginare bene la figura in 3D. Non mi spiego perchè se seziono la sfera in due parti ottengo un cerchio con un rettangolo inscritto: il cilindro non ha base circolare anch'esso? dunque, quando seziono, mi aspetterei di trovare due cerchi concentrici....
Inoltre ho provato a derivare la funzione volume che mi hai proposto tu ma non mi trovo con il risultato (o forse sì? mi trovo un massimo per $x=r/sqrt(3)$; il libro mi dice che il raggio di base dev'essere $(r*sqrt(6))/3) )
ti ringrazio se vorrai aiutarmi a capire

[Lord K]

"jivi85":uhm, ci sto pensando ma non mi trovo, forse perchè non riesco a immaginare bene la figura in 3D. Non mi spiego perchè se seziono la sfera in due parti ottengo un cerchio con un rettangolo inscritto: il cilindro non ha base circolare anch'esso? dunque, quando seziono, mi aspetterei di trovare due cerchi concentrici....

Tu tagli orizzontalmente o se preferisci parallelamente alla base del cilindro, Ada taglia perpendicolarmente alla base con un piano passante per il centro della sfera.

Inoltre ho provato a derivare la funzione volume che mi hai proposto tu ma non mi trovo con il risultato (o forse sì? mi trovo un massimo per $x=r/sqrt(3)$; il libro mi dice che il raggio di base dev'essere $(r*sqrt(6))/3) )
ti ringrazio se vorrai aiutarmi a capire

$V'(x)=2pi(r^2-x^2)+2pix*(-2x) = 2pi(r^2-3x^2)$

Da cui la soluzione di @melia.

[@melia]

"jivi85":uhm, ci sto pensando ma non mi trovo, forse perchè non riesco a immaginare bene la figura in 3D. Non mi spiego perchè se seziono la sfera in due parti ottengo un cerchio con un rettangolo inscritto: il cilindro non ha base circolare anch'esso? dunque, quando seziono, mi aspetterei di trovare due cerchi concentrici....

Intanto seziona la figura con un piano perpendicolare a quello che hai pensato.
O, ancora meglio, disegna un cerchio con un rettangolo inscritto e fai ruotare la figura attorno ad uno degli assi del rettangolo, il cerchio diventa una sfera e il rettangolo un cilindro, inscritto nella sfera.

"jivi85":Inoltre ho provato a derivare la funzione volume che mi hai proposto tu ma non mi trovo con il risultato (o forse sì? mi trovo un massimo per $x=r/sqrt(3)$; il libro mi dice che il raggio di base dev'essere $(r*sqrt(6))/3) )

$x=r/sqrt3$, il raggio del cilindro è $sqrt(r^2-r^2/3)=sqrt(2/3r^2)=r*sqrt2/sqrt3=r*sqrt6/3$

[jivi85]

perfect! grazie mille