Problema sui limiti
esame di analisi imminente...vi prego aiutatemi
ho un problema con dei limiti vi pongo il quesito $lim_(x->0^-)[|x|(1+1/x)]$ il cui risultato è -1
e $lim_(x->0^+)[|x|(1+1/x)]$ il cui risultato è 1. mi potete spiegare il procedimento per la soluzione?inoltre potretse consigliarmi una pagina web su cui poter studiare questi limiti particolari che tendono a 0- 0+ 1- 1+ e così via?vi ringrazio anticipatamente
ho un problema con dei limiti vi pongo il quesito $lim_(x->0^-)[|x|(1+1/x)]$ il cui risultato è -1
e $lim_(x->0^+)[|x|(1+1/x)]$ il cui risultato è 1. mi potete spiegare il procedimento per la soluzione?inoltre potretse consigliarmi una pagina web su cui poter studiare questi limiti particolari che tendono a 0- 0+ 1- 1+ e così via?vi ringrazio anticipatamente
Risposte
continuo a trovare difficoltà su questi limiti particolari...guardate anche questi esercizi per favore $lim_(x->2)(x^2-4x+4)$ il cui risultato è $0^+$
e $lim_(x->1)(-x^2+2x-7)$ il cui risultato è $-6^-$....ma il dominio in tutti e due i casi è tutto R...come fanno ad avere dunque due segni diversi?
e $lim_(x->1)(-x^2+2x-7)$ il cui risultato è $-6^-$....ma il dominio in tutti e due i casi è tutto R...come fanno ad avere dunque due segni diversi?
Per quanto riguarda il primo, provare a fare il prodotto, no?
Per il secondo, sfrutta la continuità dei polinomi.
Per il secondo, sfrutta la continuità dei polinomi.
scusa gugo82 ma non ho capito tanto bene, prendiamo in esame i primi due limiti: perchè nel primo caso viene -1 e nel secondo +1?e poi prendiamo in esame l'ultimo limite perchè sostituendo 1 all'equazione da come risultato $-6^-$?cioè se vai a sostituire dovrebbe venire: -1 +2 -7=-6..non $-6^-$..
Ma fai i calcoli e renditi conto...
Insomma $|x|/x$ quanto fa? Distingui i casi $x>0$ ed $x<0$ e sappimi dire.
Insomma $|x|/x$ quanto fa? Distingui i casi $x>0$ ed $x<0$ e sappimi dire.
ho capito ho capito...grazie mille davvero...non è che però potresti spiegermi anche gli altri 2 limite(quelli che ho postato nel secondo msg)?grazie mille
Boh, che strana terminologia, non mi pare che si usi molto...
Comunque, vorrà dire che intorno al punto in cui si fa il limite, il valore della funzione è positivo o negativo, a seconda che sia $l^+$ o $l^-$: ad esempio, $(x^2-4x+4)=(x-2)^2 >=0$, $\forall x in RR$ e quindi ecco spiegato il $+$ in $0^+$. Quindi è tutto ok.
Comunque, vorrà dire che intorno al punto in cui si fa il limite, il valore della funzione è positivo o negativo, a seconda che sia $l^+$ o $l^-$: ad esempio, $(x^2-4x+4)=(x-2)^2 >=0$, $\forall x in RR$ e quindi ecco spiegato il $+$ in $0^+$. Quindi è tutto ok.
e il secondo?perchè il risultato è -6 [size=200]elevato a meno[/size]?
Per quanto riguarda l'ultimo:
$lim_(x->1)(-x^2+2x-7)=lim_(x->1)(-x^2+2x-1-6)=lim_(x->1)(-(x-1)^2-6)=(-0^+)-6=(0^-) -6=-6^-$
PS [size=75]Non serve gridare, non ci sono persone dure d'orecchi da queste parti![/size]
$lim_(x->1)(-x^2+2x-7)=lim_(x->1)(-x^2+2x-1-6)=lim_(x->1)(-(x-1)^2-6)=(-0^+)-6=(0^-) -6=-6^-$
PS [size=75]Non serve gridare, non ci sono persone dure d'orecchi da queste parti![/size]
Allora, come dice amel, scrivere:
$lim_(x\to x_0) f(x)=L^+\quad$ [risp. $lim_(x\to x_0) f(x)=L^-$]
significa dire che quando $x\to x_0$ la $f(x)$ si avvicina ad $L$ passando per valori $>=L$ [risp. $<=L$], ossia che esiste un intorno (destro, sinistro o completo a seconda che $x\to x_0^+$, $x\to x_0^-$, $x\to x_0$) $U$ di $x_0$ tale che:
$AA x \in U\setminus \{ x_0\}, f(x)>=L \quad$ [risp. $f(x)<=L$].
Ad esempio, con questa convenzione, si ha $lim_(x\to +oo) 1/x=0^+$ oppure $lim_(x\to 0) -|x|=0^-$.
Ora, prendiamo ad esempio:
La funzione sotto limite è continua, quindi per calcolare il valore del limite occorre e basta sostituire $x=1$ in $-x^2+2x-7$: facendo ciò si ricava evidentemente:
$lim_(x->1)(-x^2+2x-7)=-(1)^2+2*1-7=-6 \quad$;
una volta stabilito il valore del limite, dobbiamo andare a verificare se intorno ad $1$ risulta $-x^2+2x-7>=-6$ oppure $-x^2+2x-7<=-6$ o, equivalemtemente, verificare se risulta $-x^2+2x-1>=0$ oppure $-x^2+2x-1<=0$.
Evidentemente è:
$-x^2+2x-1=-(x-1)^2<=0$
cosicché risulta addirittura per ogni $x\in RR$ $-x^2+2x-1<=0 \Leftrightarrow -x^2+2x-7<=-6$; quindi, secondo le convenzioni adottate, si può scrivere:
$lim_(x->1)(-x^2+2x-7)=-(1)^2+2*1-7=(-6)^-$
come si voleva.
P.S.: Scrivevo insieme ad @melia, che ha trovato un modo più semplice per arrivare al nocciolo della questione.
$lim_(x\to x_0) f(x)=L^+\quad$ [risp. $lim_(x\to x_0) f(x)=L^-$]
significa dire che quando $x\to x_0$ la $f(x)$ si avvicina ad $L$ passando per valori $>=L$ [risp. $<=L$], ossia che esiste un intorno (destro, sinistro o completo a seconda che $x\to x_0^+$, $x\to x_0^-$, $x\to x_0$) $U$ di $x_0$ tale che:
$AA x \in U\setminus \{ x_0\}, f(x)>=L \quad$ [risp. $f(x)<=L$].
Ad esempio, con questa convenzione, si ha $lim_(x\to +oo) 1/x=0^+$ oppure $lim_(x\to 0) -|x|=0^-$.
Ora, prendiamo ad esempio:
"rsameglia":
$lim_(x->1)(-x^2+2x-7)$ il cui risultato è $-6^-$
La funzione sotto limite è continua, quindi per calcolare il valore del limite occorre e basta sostituire $x=1$ in $-x^2+2x-7$: facendo ciò si ricava evidentemente:
$lim_(x->1)(-x^2+2x-7)=-(1)^2+2*1-7=-6 \quad$;
una volta stabilito il valore del limite, dobbiamo andare a verificare se intorno ad $1$ risulta $-x^2+2x-7>=-6$ oppure $-x^2+2x-7<=-6$ o, equivalemtemente, verificare se risulta $-x^2+2x-1>=0$ oppure $-x^2+2x-1<=0$.
Evidentemente è:
$-x^2+2x-1=-(x-1)^2<=0$
cosicché risulta addirittura per ogni $x\in RR$ $-x^2+2x-1<=0 \Leftrightarrow -x^2+2x-7<=-6$; quindi, secondo le convenzioni adottate, si può scrivere:
$lim_(x->1)(-x^2+2x-7)=-(1)^2+2*1-7=(-6)^-$
come si voleva.
P.S.: Scrivevo insieme ad @melia, che ha trovato un modo più semplice per arrivare al nocciolo della questione.
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